Exercice 27

1. La majoration est la proposition 6. Pour la minoration, posons $\varphi(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2}$ sur $[0\,,+\infty[$. Alors $\varphi'(x) = \frac{1}{1 + x} - 1 + x = \frac{x^{2}}{1 + x} \geqslant 0$, et $\varphi(0) = 0$. $$\boxed{x - \frac{x^{2}}{2} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x \ \text{ pour } x \geqslant 0}$$ 2. Posons $g(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x} + x + 2$. Alors $g'(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x} + 1$ et $g''(x) = x\,\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ sur $[0\,,+\infty[$. Donc $g'$ y est croissante, et $g'(x) \geqslant g'(0) = 0$ ; puis $g$ est croissante, et $g(x) \geqslant g(0) = 0$. $$\boxed{(x - 2)\mathrm{e}^{x} + x + 2 \geqslant 0 \ \text{ pour } x \geqslant 0}$$ On a dû dériver deux fois, car le signe de $g'$ n'était pas lisible directement.

3. L'inégalité $\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \leqslant \frac{1}{n}$ donne $n\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \leqslant 1$, puis, par croissance de l'exponentielle, $\big(1 + \frac{1}{n}\big)^{n} \leqslant \mathrm{e}$. De même, $\ln\big(1 - \frac{1}{n}\big) \leqslant -\frac{1}{n}$, puisque $-\frac{1}{n} > -1$, donc $-n\ln\big(1 - \frac{1}{n}\big) \geqslant 1$, et $\mathrm{e} \leqslant \big(1 - \frac{1}{n}\big)^{-n}$. $$\boxed{\Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^{n} \leqslant \mathrm{e} \leqslant \Big(1 - \frac{1}{n}\Big)^{-n}}$$ Pour $n = 100$, on obtient $1{,}01^{100} \approx 2{,}7048$ et $0{,}99^{-100} \approx 2{,}7320$. $$\boxed{2{,}704 \leqslant \mathrm{e} \leqslant 2{,}733}$$ L'amplitude, environ $0{,}027$, convient. Elle diminue lentement, comme $\frac{\mathrm{e}}{n}$ : les développements limités du chapitre 10 l'expliqueront.