Exercice 26

1. Supposons $\log_{10} 2 = \frac{p}{q}$ avec $p$, $q$ entiers, $q \geqslant 1$. Comme $1 < 2 < 10$, on a $0 < \frac{p}{q} < 1$, donc $1 \leqslant p < q$. L'égalité $2 = 10^{p/q}$ donne $2^{q} = 10^{p} = 2^{p}5^{p}$, puis $2^{q-p} = 5^{p}$, où le membre de gauche est pair et celui de droite impair. $$\boxed{\log_{10} 2 \notin \mathbb{Q}}$$ 2. Si $\frac{\ln 3}{\ln 2} = \frac{p}{q}$, avec $p$, $q \geqslant 1$ puisque ce quotient est positif, alors $q\ln 3 = p\ln 2$, soit $3^{q} = 2^{p}$ : un nombre impair égal à un nombre pair. $$\boxed{\frac{\ln 3}{\ln 2} = \log_{2} 3 \notin \mathbb{Q}}$$ 3. On a $\log_{10} 5 = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ ; s'il était rationnel, $\log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 5$ le serait aussi. $$\boxed{\log_{10} 5 \notin \mathbb{Q}}$$ L'affirmation de l'élève est fausse : $\log_{10} 2$ et $\log_{10} 5$ ne sont pas rationnels, et leur somme vaut $\log_{10} 10 = 1$.