Exercice 25

1. Un entier $N \geqslant 1$ s'écrit avec $k$ chiffres si et seulement si $10^{k-1} \leqslant N < 10^{k}$, et l'on applique la fonction $\log_{10}$, strictement croissante, avec $\log_{10}(10^{m}) = m$. $$\boxed{N \text{ a } k \text{ chiffres} \iff k - 1 \leqslant \log_{10} N < k}$$ 2. Notons $n = 82\,589\,933$. On a $n\log_{10} 2 \approx 24\,862\,047{,}17$ ; l'erreur commise sur $\log_{10} 2$ est inférieure à $10^{-11}$, et multipliée par $n$ elle reste inférieure à $10^{-3}$, ce qui ne change pas la partie avant la virgule. Donc $2^{n}$ a $24\,862\,048$ chiffres. Ensuite, $2^{n}$ n'est pas une puissance de $10$, puisque $5$ divise toute puissance $10^{m}$ avec $m \geqslant 1$ ; ainsi $10^{k-1} < 2^{n}$, et $10^{k-1} \leqslant 2^{n} - 1 < 10^{k}$. $$\boxed{2^{82\,589\,933} - 1 \text{ a } 24\,862\,048 \text{ chiffres}}$$ 3. D'après la question 1, l'entier $2^{n}$ a $4\,413$ chiffres si et seulement si $4\,412 \leqslant n\log_{10} 2 < 4\,413$, c'est-à-dire, en arrondissant les quotients, $$14\,656{,}35 \leqslant n < 14\,659{,}67.$$

$$\boxed{n \in \{14\,657,\ 14\,658,\ 14\,659\}}$$ Il y en a trois, ce qui est cohérent : une puissance de $10$ est franchie toutes les trois ou quatre puissances de $2$, puisque $\frac{1}{\log_{10} 2} \approx 3{,}32$.