Exercice 44

1. D'après la proposition 10, $\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x = \mathrm{e}^{x}$, donc $(\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x)^{n} = \mathrm{e}^{nx} = \operatorname{ch}(nx) + \operatorname{sh}(nx)$.

2. On calcule les deux sommes géométriques de raisons $\mathrm{e}^{x}$ et $\mathrm{e}^{-x}$, différentes de $1$ puisque $x \neq 0$, en factorisant par l'angle moitié comme au chapitre 4 : $$\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{kx} = \frac{\mathrm{e}^{(n+1)x} - 1}{\mathrm{e}^{x} - 1} = \frac{\mathrm{e}^{(n+1)x/2}}{\mathrm{e}^{x/2}}\cdot\frac{\operatorname{sh}\frac{(n+1)x}{2}}{\operatorname{sh}\frac{x}{2}} = \mathrm{e}^{nx/2}\,\frac{\operatorname{sh}\frac{(n+1)x}{2}}{\operatorname{sh}\frac{x}{2}},$$ et de même $\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{-kx} = \mathrm{e}^{-nx/2}\,\frac{\operatorname{sh}\frac{(n+1)x}{2}}{\operatorname{sh}\frac{x}{2}}$ en changeant $x$ en $-x$. La demi-somme et la demi-différence donnent $$\boxed{C_{n} = \frac{\operatorname{ch}\frac{nx}{2}\,\operatorname{sh}\frac{(n+1)x}{2}}{\operatorname{sh}\frac{x}{2}} \qquad S_{n} = \frac{\operatorname{sh}\frac{nx}{2}\,\operatorname{sh}\frac{(n+1)x}{2}}{\operatorname{sh}\frac{x}{2}}}.$$ 3. La relation $2\operatorname{ch} a\,\operatorname{sh} a = \operatorname{sh}(2a)$, appliquée à $a = \frac{x}{2^{k}}$, donne $2\operatorname{ch}\frac{x}{2^{k}}\,\operatorname{sh}\frac{x}{2^{k}} = \operatorname{sh}\frac{x}{2^{k-1}}$. En multipliant $P_{n}$ par $\operatorname{sh}\frac{x}{2^{n}}$, les facteurs se simplifient de proche en proche, du dernier au premier : $$P_{n}\,\operatorname{sh}\frac{x}{2^{n}} = 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\operatorname{ch}\frac{x}{2^{k}}\cdot\operatorname{sh}\frac{x}{2^{n-1}} = \cdots = \operatorname{sh} x.$$