Exercice 45

1. La fonction $\varphi : x \mapsto \operatorname{Arctan}(\operatorname{sh} x) + \operatorname{Arccos}(\operatorname{th} x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, car $\operatorname{th} x \in \,]-1\,,1[$. Avec $1 + \operatorname{sh}^{2} = \operatorname{ch}^{2}$ et $\sqrt{1 - \operatorname{th}^{2} x} = \frac{1}{\operatorname{ch} x}$, $$\varphi'(x) = \frac{\operatorname{ch} x}{1 + \operatorname{sh}^{2} x} - \frac{1/\operatorname{ch}^{2} x}{\sqrt{1 - \operatorname{th}^{2} x}} = \frac{1}{\operatorname{ch} x} - \frac{1}{\operatorname{ch} x} = 0.$$ Donc $\varphi$ est constante, égale à $\varphi(0) = 0 + \operatorname{Arccos} 0$. $$\boxed{\operatorname{Arctan}(\operatorname{sh} x) + \operatorname{Arccos}(\operatorname{th} x) = \frac{\pi}{2}}$$ 2. L'équation $\operatorname{th} x = \frac{5}{13}$ s'écrit $\frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{\mathrm{e}^{2x} + 1} = \frac{5}{13}$, soit $\mathrm{e}^{2x} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$. $$\boxed{x = \ln\frac{3}{2}, \qquad \operatorname{sh} x = \frac{1}{2}\Big(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}\Big) = \frac{5}{12}}$$ La question 1, en ce point, donne $\operatorname{Arctan}\frac{5}{12} + \operatorname{Arccos}\frac{5}{13} = \frac{\pi}{2}$. Géométriquement, dans le triangle rectangle de côtés $5$, $12$ et $13$, l'angle opposé au côté $5$ a pour tangente $\frac{5}{12}$, et l'autre angle aigu a pour cosinus $\frac{5}{13}$ ; ces deux angles sont complémentaires.

3. Par la dérivation. Avec $\operatorname{ch}^{2} x + \operatorname{sh}^{2} x = \operatorname{ch}(2x)$, conséquence de l'exercice 43, $$\big(2\operatorname{Arctan}(\operatorname{th} x)\big)' = \frac{2/\operatorname{ch}^{2} x}{1 + \operatorname{th}^{2} x} = \frac{2}{\operatorname{ch}^{2} x + \operatorname{sh}^{2} x} = \frac{2}{\operatorname{ch}(2x)},$$

$$\big(\operatorname{Arctan}(\operatorname{sh} 2x)\big)' = \frac{2\operatorname{ch}(2x)}{1 + \operatorname{sh}^{2}(2x)} = \frac{2}{\operatorname{ch}(2x)}.$$ Les deux fonctions ont la même dérivée sur $\mathbb{R}$ et sont nulles en $0$ : elles sont égales.

Par la trigonométrie. Soit $\theta = \operatorname{Arctan}(\operatorname{th} x)$ ; comme $\operatorname{th} x \in \,]-1\,,1[$, $\theta \in \,]-\frac{\pi}{4}\,,\frac{\pi}{4}[$, donc $2\theta \in \,]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$. Alors $$\tan(2\theta) = \frac{2\operatorname{th} x}{1 - \operatorname{th}^{2} x} = \frac{2\operatorname{sh} x\operatorname{ch} x}{\operatorname{ch}^{2} x - \operatorname{sh}^{2} x} = \operatorname{sh}(2x),$$ et $2\theta$ est l'arc tangente de $\operatorname{sh}(2x)$. $$\boxed{2\operatorname{Arctan}(\operatorname{th} x) = \operatorname{Arctan}\big(\operatorname{sh}(2x)\big)}$$ La fonction $x \mapsto \operatorname{Arctan}(\operatorname{sh} x)$ de la question 1 s'appelle la fonction de Gudermann ; elle relie, sans passer par les complexes, les fonctions circulaires et hyperboliques.