Exercice 63

1. Si $u = 0$ ou $v = 0$, l'inégalité est claire, en convenant que $0^{p} = 0$. Fixons $v > 0$, et posons $\varphi(u) = \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q} - uv$ pour $u > 0$. Alors $\varphi'(u) = u^{p-1} - v$, qui s'annule en $u_{0} = v^{1/(p-1)}$ : $\varphi$ décroît sur $]0\,,u_{0}]$ et croît ensuite. Comme $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ équivaut à $q = \frac{p}{p - 1}$, on a $u_{0}^{p} = v^{p/(p-1)} = v^{q}$ et $u_{0}v = v^{\frac{1}{p-1} + 1} = v^{q}$, donc $$\varphi(u_{0}) = \frac{v^{q}}{p} + \frac{v^{q}}{q} - v^{q} = 0.$$

$$\boxed{uv \leqslant \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q}}$$ Pour $p = q = 2$, on retrouve $uv \leqslant \frac{u^{2} + v^{2}}{2}$, c'est-à-dire $(u - v)^{2} \geqslant 0$.

2. Notons $A = \big(\sum |u_{k}|^{p}\big)^{1/p}$ et $B = \big(\sum |v_{k}|^{q}\big)^{1/q}$. Dans le cas $A = B = 1$, la question 1 appliquée à $|u_{k}|$ et $|v_{k}|$, puis sommée, donne $$\sum_{k=1}^{n} |u_{k}v_{k}| \leqslant \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n} |u_{k}|^{p} + \frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n} |v_{k}|^{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$$ Dans le cas général, si $A = 0$, tous les $u_{k}$ sont nuls et l'inégalité est une égalité $0 = 0$ ; de même si $B = 0$. Sinon, les nombres $u_{k}' = \frac{u_{k}}{A}$ et $v_{k}' = \frac{v_{k}}{B}$ vérifient $\sum |u_{k}'|^{p} = \frac{1}{A^{p}}\sum |u_{k}|^{p} = 1$, et de même pour les $v_{k}'$. Le premier cas donne $\sum |u_{k}'v_{k}'| \leqslant 1$, soit, en multipliant par $AB$ : $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} |u_{k}v_{k}| \leqslant \Big(\sum_{k=1}^{n} |u_{k}|^{p}\Big)^{1/p}\Big(\sum_{k=1}^{n} |v_{k}|^{q}\Big)^{1/q}}$$ Pour $p = q = 2$, c'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que le chapitre 19 retrouvera dans le cadre des espaces préhilbertiens. La méthode, se ramener au cas où les deux quantités valent $1$ par homogénéité, est à retenir.