Exercice 64

1. Fixons $x$, et dérivons l'égalité $f(x + y) = f(x) + f(y)$ par rapport à $y$ : $f'(x + y) = f'(y)$. En $y = 0$, $f'(x) = f'(0)$ : la dérivée est constante, égale à un réel $c$. La fonction $x \mapsto f(x) - cx$ a une dérivée nulle sur $\mathbb{R}$, donc elle est constante (théorème 1), égale à $f(0)$ ; or $f(0) = f(0 + 0) = 2f(0)$ impose $f(0) = 0$. $$\boxed{f(x) = cx, \ c \in \mathbb{R}}$$ Réciproquement, ces fonctions conviennent.

2. Dérivons de même par rapport à $y$ : $x f'(xy) = f'(y)$, puis faisons $y = 1$ : $f'(x) = \frac{c}{x}$, avec $c = f'(1)$. Alors $f - c\ln$ est constante sur $]0\,,+\infty[$, et $f(1) = 2f(1)$ donne $f(1) = 0$. $$\boxed{f = c\ln, \ c \in \mathbb{R}}$$ Ce sont exactement les logarithmes de toutes les bases, au facteur près : la seule façon dérivable de transformer les produits en sommes est celle de Napier, comme le racontait l'introduction historique du cours.

3. La fonction $g = \ln \circ f$ est dérivable, et $g(x + y) = \ln\big(f(x)f(y)\big) = g(x) + g(y)$. D'après la question 1, $g(x) = cx$. $$\boxed{f(x) = \mathrm{e}^{cx}, \ c \in \mathbb{R}}$$ L'hypothèse $f > 0$ permet de prendre le logarithme ; sans elle, il faudrait ajouter la fonction nulle. On peut affaiblir l'hypothèse de dérivabilité en une hypothèse de continuité, avec les mêmes conclusions, mais la démonstration utilise la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, qui relève des chapitres 7 et 8.