Exercice 11

On applique la méthode du cours pour les fractions $\frac{1}{ax^{2} + bx + c}$, après avoir fait apparaître, s'il y a lieu, la dérivée du dénominateur au numérateur.

(a) $\Delta = 9 > 0$ et $x^{2} - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$, d'où $\frac{1}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{1}{3}\Big(\frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 2}\Big)$. $$\boxed{x \mapsto \frac{1}{3}\ln\Big|\frac{x - 5}{x - 2}\Big|}$$ (b) On cherche $\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{\alpha}{x - 2} + \frac{\beta}{x - 5}$ : en multipliant par $x - 2$ puis en faisant $x = 2$, $\alpha = \frac{3}{-3} = -1$ ; de même $\beta = \frac{6}{3} = 2$. $$\boxed{x \mapsto 2\ln|x - 5| - \ln|x - 2|}$$ (c) $\Delta = 0$ et $x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$. $$\boxed{x \mapsto -\frac{1}{x - 3}}$$ (d) $\Delta = -3$ et $x^{2} - x + 1 = \big(x - \frac{1}{2}\big)^{2} + \big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}$. $$\boxed{x \mapsto \frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{Arctan}\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}}$$ (e) $\Delta = -7$ et $2x^{2} + x + 1 = 2\Big(\big(x + \frac{1}{4}\big)^{2} + \big(\frac{\sqrt{7}}{4}\big)^{2}\Big)$, d'où une primitive $\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{7}}\operatorname{Arctan}\frac{4x + 1}{\sqrt{7}}$. $$\boxed{x \mapsto \frac{2}{\sqrt{7}}\operatorname{Arctan}\frac{4x + 1}{\sqrt{7}}}$$ (f) $x^{2} + 4x + 5 = (x + 2)^{2} + 1$. $$\boxed{x \mapsto \operatorname{Arctan}(x + 2)}$$ (g) On sépare : $\frac{x + 4}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2} + 1} + \frac{4}{x^{2} + 1}$. $$\boxed{x \mapsto \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 1) + 4\operatorname{Arctan} x}$$ (h) On fait apparaître $2x + 1$ : $3x + 2 = \frac{3}{2}(2x + 1) + \frac{1}{2}$, et l'on traite le reste comme en (d). $$\boxed{x \mapsto \frac{3}{2}\ln(x^{2} + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{Arctan}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}}$$ (i) Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : inutile de décomposer. $$\boxed{x \mapsto \ln|x^{2} + x - 3|}$$

Piège : en (i), le discriminant $13$ est positif et l'on serait tenté de factoriser, ce qui mène à des racines $\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ et à un calcul pénible ; il faut toujours regarder d'abord si le numérateur est la dérivée du dénominateur.