Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 6

Primitives et équations différentielles linéaires

55 exercices corrigés · 13   18   22   2

Primitives et intégrales

• Exercice 1 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en précisant un intervalle sur lequel on travaille. (a) x ↦ 5x^3 - 3x + 7 (b) x ↦ 2cos…
• Exercice 2 Reconnaître une dérivée de fonction composée, et en déduire une primitive de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle convenable. (a) x ↦…
• Exercice 3 1. Un élève écrit: « une primitive de x ↦ 1/(x^2) est x ↦ - 1/x, donc ∫_(-1)^1 (d x)/(x^2) = [- 1/x ]_(-1)^1 = -2 ». Pourquoi ce résultat est-il…
• Exercice 4 Soit f: ℝ → ℝ continue. Justifier que les fonctions suivantes sont dérivables, et calculer leur dérivée. (a) G_1: x ↦ ∫_0^x^2 f(t) d t (b) G_2: x ↦…
• Exercice 5 Soit a < b deux réels et f: [a,b] → ℝ continue. 1. On suppose f ≥ 0 et ∫_a^b f = 0. En étudiant une primitive de f, montrer que f est nulle. 2.…
• Exercice 6 Soit f: ℝ → ℝ continue et T > 0. 1. On suppose f T -périodique. Montrer que f admet une primitive T -périodique si et seulement si ∫_0^T f = 0. Une…
• Exercice 7 On pose, pour x ≠ 0, φ(x) = (sh x)/x, et φ(0) = 1, de sorte que φ est continue sur ℝ; on pose ensuite, pour tout réel x, F(x) = ∫_x^2x φ(t) d t. 1.…
• Exercice 8 Encadrements d'intégrales. 1. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, 1 - 1/(n + 1) ≤ ∫_0^1 (d t)/(1 + t^n) ≤ 1. 2. Montrer que, pour tout entier n ≥…
• Exercice 9 π est plus petit que 22/7. 1. Vérifier que x^4(1 - x)^4 = (1 + x^2)(x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4) - 4. 2. En déduire que ∫_0^1 (x^4(1 - x)^4)/(1 +…

Calcul de primitives et d'intégrales

• Exercice 10 Calculer les intégrales suivantes. (a) ∫_0^(π/3) (1 - cos 3x) d x (b) ∫_0^√π xsin (x^2) d x (c) ∫_1^2 (√(ln x))/x d x (d) ∫_0^(π/4) tan x d x (e)…
• Exercice 11 Déterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes, sur un intervalle ne contenant aucune racine du dénominateur. (a) 1/(x^2 - 7x + 10)…
• Exercice 12 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer des réels a, b, c, d tels que l'égalité indiquée soit vraie, puis en déduire une primitive sur…
• Exercice 13 Calculer les intégrales suivantes, en décomposant ou en mettant sous forme canonique. (a) ∫_2^3 (t + 1)/(t(t^2 - 1)) d t (b) ∫_3^4 (d x)/(x^2 - 3x +…
• Exercice 14 1. Déterminer une primitive de x ↦ e^2xsin (3x) et de x ↦ ch xcos x de deux façons: à l'aide de l'exponentielle complexe, puis par deux intégrations…
• Exercice 15 Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou de plusieurs intégrations par parties. (a) ∫_0^1 t^2 e^t d t (b) ∫_1^e t^2ln t d t (c) ∫_0^π…
• Exercice 16 Déterminer une primitive des fonctions suivantes à l'aide d'une intégration par parties. (a) x ↦ Arctan x (b) x ↦ Arcsin x (c) x ↦ ln (1 + x^2) (d)…
• Exercice 17 1. Calculer I = ∫_0^π xcos ^2 x d x, puis en déduire habilement J = ∫_0^π xsin ^2 x d x. 2. Calculer ∫_0^π x^2 e^xcos x d x. 3. Pour tout entier n ≥…
• Exercice 18 Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué, ou d'un changement de variable bien choisi. (a) ∫_1^4 (1 - √t)/(√t) d…
• Exercice 19 Déterminer une primitive des fonctions suivantes à l'aide d'un changement de variable. (a) x ↦ 1/(ch x), en posant u = e^x (b) x ↦ 1/(e^x + 1) (c) x…
• Exercice 20 Calculer les intégrales suivantes. (a) ∫_0^1 x e^x^2 d x (b) ∫_0^1 x e^x d x (c) ∫_1^e (ln x)/x d x (d) ∫_1^e xln x d x (e) ∫_0^1 x/(1 + x^2) d x…
• Exercice 21 Symétries. 1. Soit f: [a,b] → ℝ continue telle que f(a + b - x) = f(x) pour tout x. Montrer que ∫_a^b x f(x) d x = (a + b)/2 ∫_a^b f(x) d x, et…
• Exercice 22 Règles de Bioche. Pour primitiver une fraction en cos x et sin x, on cherche une symétrie de l'expression f(x) d x: on pose u = cos x si elle est…
• Exercice 23 Intégrales de Wallis. Pour tout n ∈ ℕ, on pose W_n = ∫_0^(π/2) sin ^n t d t. 1. Calculer W_0, W_1 et W_2, puis montrer à l'aide du changement de…
• Exercice 24 Pour tous entiers naturels p et q, on pose I_p,q = ∫_0^1 t^p(1 - t)^q d t. 1. Montrer que I_p,q = I_q,p. 2. Montrer que I_p,q = q/(p + 1)…
• Exercice 25 Pour tout n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^1 (x^n)/(1 + x) d x. 1. Calculer I_0, puis montrer que 0 ≤ I_n ≤ 1/(n + 1) pour tout n. 2. Calculer I_n +…
• Exercice 26 Pour tous entiers naturels n et m, on pose C_n,m = ∫_0^π cos ^nx cos (mx) d x. 1. Montrer que 2cos xcos (mx) = cos ((m + 1)x) + cos ((m - 1)x), et…

Équations différentielles linéaires du premier ordre

• Exercice 27 Résoudre les équations suivantes, à coefficients constants, sur ℝ; pour les deux premières, on déterminera la solution qui vérifie la condition…
• Exercice 28 Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué. (a) y' + x^2y = -x^2, sur ℝ (b) y' + 2xy = e^x - x^2, sur ℝ (c) y' - x/(1 + x^2) y = 1/(1…
• Exercice 29 Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué, après les avoir mises sous forme normalisée. (a) 2xy' - y = x, sur ]0,+∞[ (b) (1 + x)y' +…
• Exercice 30 1. Soit a, b: I → ℝ continues et x_0 ∈ I. Montrer que les tangentes en leur point d'abscisse x_0 aux courbes des solutions de y' + a(x)y = b(x) sont…
• Exercice 31 Alcoolémie. On modélise le taux d'alcool dans le sang, en grammes par litre, t heures après l'absorption d'une boisson, par une fonction f telle que…
• Exercice 32 Raccordements. On considère l'équation (E): xy' = 2y + x, sur ℝ. 1. Résoudre (E) sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[. 2. Soit y une solution de (E) sur ℝ. Que…
• Exercice 33 Résoudre sur ℝ les équations suivantes, en étudiant les raccordements. (a) xy' - y = x^2 (b) xy' + y = x^2 (c) sh(x) y' - ch(x) y = 1 (d) (x^2 - 1)…
• Exercice 34 Déterminer les fonctions f: ℝ → ℝ dérivables vérifiant les conditions suivantes. (a) f'(x) + f(x) = f(0) + f(1) pour tout réel x. (b) f'(x) + f(x) =…
• Exercice 35 Comparaison de solutions. Soit a, b: ℝ → ℝ continues, A une primitive de a, et y, z deux fonctions dérivables telles que y(0) = z(0) et, pour tout…
• Exercice 36 Deux équations non linéaires. 1. Soit y une solution de y' = 1 + y^2 sur un intervalle I. En dérivant Arctan ∘ y, montrer qu'il existe une constante…

Équations du second ordre à coefficients constants

• Exercice 37 Déterminer les solutions réelles des équations homogènes suivantes, puis leurs solutions complexes. (a) y'' - 2y' - 3y = 0 (b) y'' - 2y' + y = 0 (c)…
• Exercice 38 Résoudre sur ℝ les équations suivantes, en cherchant les solutions réelles. (a) y'' - 3y' + 2y = 1 (b) y'' + 4y' + 4y = e^x (c) y'' - y = e^2x - e^x…
• Exercice 39 Résoudre sur ℝ les équations suivantes, en cherchant les solutions réelles. Pour les seconds membres produits d'une exponentielle et d'un polynôme,…
• Exercice 40 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants. (a) begin cases y'' + 9y = x + 1 y(0) = 0, y'(0) = 0 end cases (b) begin cases y'' - 2y' + y = x y(0) =…
• Exercice 41 1. Soit α un réel. Résoudre sur ℝ l'équation y'' - (1 + α) y' + α y = e^((1+α)x), en discutant selon α. 2. Soit ω > 0 et θ ≥ 0. Résoudre y'' + ω^2y…
• Exercice 42 Soit a, b deux réels. 1. Déterminer à quelle condition sur (a, b) toutes les solutions réelles de y'' + ay' + by = 0 sont bornées sur [0,+∞[. On…
• Exercice 43 Changements de variable. On résout des équations à coefficients non constants en se ramenant au cas constant. 1. Sur ]0,+∞[, on considère (E_1):…
• Exercice 44 Changements de fonction inconnue. Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle indiqué, à l'aide de la fonction auxiliaire proposée. (a) (1 +…
• Exercice 45 Variation des constantes au second ordre. On veut résoudre (E): y'' + y = 1/(cos x) sur I = ]- π/2, π/2 [. 1. Soit λ, μ: I → ℝ dérivables telles que…
• Exercice 46 Systèmes différentiels. 1. Déterminer les couples (y, z) de fonctions dérivables sur ℝ telles que y' - y = z et z' + z = 3y. On commencera par…
• Exercice 47 1. Déterminer les fonctions à valeurs complexes solutions sur ℝ de y''' = y. On pourra, pour une solution f, étudier g = f + f' + f''. 2. Soit f: ℝ…

Exercices de synthèse

• Exercice 48 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Toute fonction continue sur ℝ admet une primitive sur ℝ. 2.…
• Exercice 49 Une inégalité optimale. Soit f: [0,1] → ℝ continue telle que ∫_0^1 f = 0, et α, β deux réels tels que α ≤ f(x) ≤ β pour tout x ∈ [0,1]. 1. Montrer…
• Exercice 50 Équations intégrales. Déterminer les fonctions f: ℝ → ℝ continues vérifiant, pour tout réel x: (a) f(x) = 1 + ∫_0^x t f(t) d t; (b) f(x) = sin x +…
• Exercice 51 Équations fonctionnelles de Cauchy. 1. Soit f: ℝ → ℝ dérivable telle que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x, y. Calculer f(0), puis, en…
• Exercice 52 Coefficients d'un polynôme et moyennes sur un cercle. Soit n ∈ ℕ, a_0, …, a_n des nombres complexes, et P la fonction définie sur ℂ par P(z) =…
• Exercice 53 Théorème de comparaison de Sturm. Soit q_1, q_2: ℝ → ℝ continues telles que q_1(x) < q_2(x) pour tout réel x, et y_1, y_2: ℝ → ℝ deux fois…
• Exercice 54 Oscillateur forcé et résonance. Soit xi > 0 et ω > 0. On étudie l'équation (E_ω): y'' + 2xi y' + y = cos (ω t). 1. Montrer que toutes les solutions…
• Exercice 55 Lemme de Gronwall. 1. Soit C un réel, et u, v: [0,+∞[ → ℝ continues, avec v ≥ 0, telles que, pour tout x ≥ 0, u(x) ≤ C + ∫_0^x u(t) v(t) d t.…