Exercice 34

(a) Le second membre $k = f(0) + f(1)$ est une constante : $f$ est solution de $y' + y = k$, donc $f(x) = k + C\,\mathrm{e}^{-x}$. Il reste à écrire que $k = f(0) + f(1) = 2k + C(1 + \mathrm{e}^{-1})$, soit $C = -\frac{k\,\mathrm{e}}{\mathrm{e} + 1}$. Réciproquement, ces fonctions conviennent. $$\boxed{f(x) = k\Big(1 - \frac{\mathrm{e}^{1 - x}}{\mathrm{e} + 1}\Big), \quad k \in \mathbb{R}}$$ (b) De même, avec $m = \int_{0}^{1} f$, on a $f(x) = m + C\,\mathrm{e}^{-x}$, et la condition s'écrit $m = m + C(1 - \mathrm{e}^{-1})$, d'où $C = 0$. Réciproquement, toute fonction constante $f = m$ vérifie $f' + f = m = \int_{0}^{1} f$. $$\boxed{\text{les fonctions constantes}}$$ (c) La relation donne $f'(x) = \mathrm{e}^{x} - f(-x)$ : le second membre est dérivable, donc $f$ est deux fois dérivable, et $f''(x) = \mathrm{e}^{x} + f'(-x)$. En appliquant la relation en $-x$, $f'(-x) = \mathrm{e}^{-x} - f(x)$, d'où $$f'' + f = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} = 2\operatorname{ch} x.$$ La fonction $\operatorname{ch}$ est solution particulière, puisque $\operatorname{ch}'' = \operatorname{ch}$, et le théorème 5 donne $$f(x) = \lambda\cos x + \mu\sin x + \operatorname{ch} x.$$ On réinjecte dans la relation de départ : $$f'(x) + f(-x) = (-\lambda\sin x + \mu\cos x + \operatorname{sh} x) + (\lambda\cos x - \mu\sin x + \operatorname{ch} x),$$ c'est-à-dire $f'(x) + f(-x) = (\lambda + \mu)(\cos x - \sin x) + \mathrm{e}^{x}$, ce qui impose $\mu = -\lambda$. $$\boxed{f(x) = \lambda(\cos x - \sin x) + \operatorname{ch} x, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

Piège : en (c), l'équation du second ordre n'est qu'une conséquence de la relation donnée ; toutes ses solutions ne conviennent pas, et l'étape de réinjection, qui élimine une constante, est indispensable.