Exercice 33

La méthode est celle de l'exercice 32 : on résout sur les intervalles où le coefficient de $y'$ ne s'annule pas, puis on cherche à quelles conditions les morceaux se recollent en une fonction dérivable vérifiant l'équation aux points singuliers.

(a) Sur $]-\infty\,,0[$ et $]0\,,+\infty[$, $y' - \frac{1}{x}\,y = x$ : les solutions homogènes sont les $\lambda x$, et $\lambda' = 1$, d'où $y = x^{2} + C_{i}x$. Une solution sur $\mathbb{R}$ vérifie $y(0) = 0$, et ses dérivées à gauche et à droite en $0$ valent $C_{1}$ et $C_{2}$ : elle n'est dérivable que si $C_{1} = C_{2}$. Réciproquement, $x^{2} + Cx$ est solution sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{y(x) = x^{2} + Cx, \quad C \in \mathbb{R}}$$ (b) Le premier membre est $(xy)'$ : sur chaque demi-droite, $xy = \frac{x^{3}}{3} + C_{i}$, soit $y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{C_{i}}{x}$. Une solution sur $\mathbb{R}$ est continue en $0$, donc bornée au voisinage de $0$, ce qui impose $C_{1} = C_{2} = 0$. $$\boxed{y(x) = \frac{x^{2}}{3} \text{ : solution unique}}$$ (c) Sur chaque demi-droite, $\operatorname{sh} x \neq 0$ et $y' - \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x}\,y = \frac{1}{\operatorname{sh} x}$. Les solutions homogènes sont les $\lambda\operatorname{sh} x$, et $\lambda'(x) = \frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}$, dont une primitive est $-\frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x}$, comme on le vérifie en dérivant ; d'où $y = -\operatorname{ch} x + C_{i}\operatorname{sh} x$. En $0$, l'équation donne $-y(0) = 1$ : les deux morceaux tendent bien vers $-1$. Les dérivées à gauche et à droite en $0$ sont celles de $-\operatorname{ch} + C_{i}\operatorname{sh}$, soit $C_{1}$ et $C_{2}$ : il faut $C_{1} = C_{2}$. $$\boxed{y(x) = -\operatorname{ch} x + C\operatorname{sh} x, \quad C \in \mathbb{R}}$$ (d) Les points singuliers sont $-1$ et $1$. Sur chacun des trois intervalles, $y' = \frac{x}{x^{2} - 1}\,y$, et une primitive du coefficient est $\frac{1}{2}\ln|x^{2} - 1|$ : $y = C_{i}\sqrt{|x^{2} - 1|}$. Une solution sur $\mathbb{R}$ vérifie $y(\pm 1) = 0$. En $1$, le taux d'accroissement à droite vaut $$\frac{C\sqrt{x^{2} - 1}}{x - 1} = C\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}},$$ qui tend vers l'infini si $C \neq 0$ ; il en est de même à gauche de $1$ et des deux côtés de $-1$. Toutes les constantes sont nulles. $$\boxed{y = 0 \text{ : solution unique}}$$

À retenir : selon l'équation, le raccordement peut ajouter des solutions (exercice 32), en conserver le nombre (a) et (c), ou en éliminer (b) et (d) ; il faut chaque fois mener l'étude, sans présumer du résultat.