Exercice 32

1. Sur chacun des intervalles $]-\infty\,,0[$ et $]0\,,+\infty[$, l'équation s'écrit $y' - \frac{2}{x}\,y = 1$. Les solutions homogènes sont les $\lambda x^{2}$, puisque $\mathrm{e}^{2\ln|x|} = x^{2}$, et $y = -x$ est solution évidente. $$\boxed{y(x) = -x + \lambda x^{2}, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \text{ sur chacun des deux intervalles}}$$ 2. En $x = 0$, l'équation donne $0 = 2y(0) + 0$, donc $\boxed{y(0) = 0}$. D'après la question 1, il existe des constantes $C_{1}$ et $C_{2}$ telles que $y(x) = -x + C_{1}x^{2}$ pour $x < 0$ et $y(x) = -x + C_{2}x^{2}$ pour $x > 0$ ; ces formules restent vraies en $0$, puisque $y(0) = 0$. Le taux d'accroissement $\frac{y(x) - y(0)}{x}$ vaut $-1 + C_{i}x$, qui tend vers $-1$ : $\boxed{y'(0) = -1}$.

Réciproquement, une telle fonction est dérivable sur $]-\infty\,,0[$ et sur $]0\,,+\infty[$, où elle vérifie $(E)$ ; le calcul précédent montre qu'elle est dérivable en $0$, avec $y'(0) = -1$, et $(E)$ est vérifiée en $0$ puisque $0 \times (-1) = 2 \times 0 + 0$. $$\boxed{\text{les solutions sur } \mathbb{R} \text{ sont les } x \mapsto \begin{cases} -x + C_{1}x^{2} & (x \leqslant 0) \\ -x + C_{2}x^{2} & (x \geqslant 0) \end{cases}, \quad (C_{1}, C_{2}) \in \mathbb{R}^{2}}$$ 3. Toutes les solutions vérifient $y(0) = 0$ : il y en a une infinité, dépendant de deux constantes, et aucune ne vérifie $y(0) = 1$. $$\boxed{y(0) = 0 : \text{ une infinité} \qquad y(0) = 1 : \text{ aucune}}$$ Le théorème de Cauchy du cours porte sur une équation $y' + a(x)\,y = b(x)$ à coefficients continus sur un intervalle. Pour mettre $(E)$ sous cette forme, il faut diviser par $x$, ce qui est impossible sur un intervalle contenant $0$ : le théorème ne s'applique pas.

4. Sur $]0\,,+\infty[$ ou $]-\infty\,,0[$, l'équation s'écrit $y' - \frac{1}{x^{2}}\,y = 0$ ; une primitive de $-\frac{1}{x^{2}}$ est $\frac{1}{x}$, d'où les solutions $\lambda\,\mathrm{e}^{-1/x}$ sur chacun des deux intervalles. Soit maintenant $y$ une solution sur $\mathbb{R}$. En $0$, l'équation donne $y(0) = 0$. Pour $x < 0$, on a $y(x) = C_{1}\mathrm{e}^{-1/x}$, et $\mathrm{e}^{-1/x}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0^{-}$ : la continuité en $0$ impose $C_{1} = 0$. Pour $x > 0$, $y(x) = C_{2}\mathrm{e}^{-1/x}$ tend vers $0$, et le taux d'accroissement vérifie $$\frac{C_{2}\mathrm{e}^{-1/x}}{x} = C_{2}\,x\cdot\frac{\mathrm{e}^{-1/x}}{x^{2}} \xrightarrow[x \to 0^{+}]{} 0.$$ La fonction est donc dérivable en $0$, de dérivée nulle, et l'équation est vérifiée en $0$. Réciproquement, ces fonctions conviennent. $$\boxed{\text{les solutions sur } \mathbb{R} \text{ sont les } x \mapsto \begin{cases} 0 & (x \leqslant 0) \\ C\,\mathrm{e}^{-1/x} & (x > 0) \end{cases}, \quad C \in \mathbb{R}}$$ Toutes s'annulent en $0$ et sont nulles à gauche, mais elles diffèrent à droite : là encore, la condition $y(0) = 0$ ne détermine pas la solution.

Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $x^{2}y' = y$ partent toutes de la demi-droite nulle à gauche de $0$, puis se séparent en $0$ en quittant l'axe avec une tangente horizontale : la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-1/x}$ est si plate en $0^{+}$ que le raccordement se fait sans angle.