Exercice 31

1. La fonction $t \mapsto \mathrm{e}^{-t}$ est solution de l'équation homogène : on fait varier la constante en posant $f(t) = \lambda(t)\,\mathrm{e}^{-t}$, ce qui donne $\lambda'(t) = a$. Les solutions sont les $(at + c)\,\mathrm{e}^{-t}$, et $f(0) = 0$ impose $c = 0$. $$\boxed{f(t) = a\,t\,\mathrm{e}^{-t}}$$ 2. Pour $a = 5$, on a $f'(t) = 5(1 - t)\,\mathrm{e}^{-t}$, du signe de $1 - t$ : $f$ est croissante sur $[0\,,1]$ et décroissante sur $[1\,,+\infty[$. $$\boxed{\text{taux maximal } f(1) = \frac{5}{\mathrm{e}} \approx 1{,}84 \text{ g/L, atteint au bout d'une heure}}$$ 3. Sur $]1\,,+\infty[$, la fonction $f$ est dérivable et strictement décroissante ; elle tend vers $\frac{5}{\mathrm{e}}$ en $1$ et vers $0$ en $+\infty$, par croissances comparées (chapitre 5). D'après le théorème 2 du chapitre 5, elle réalise une bijection de $]1\,,+\infty[$ sur $\big]0\,,\frac{5}{\mathrm{e}}\big[$, qui contient $0{,}5$. Il existe donc un unique $t_{1} > 1$ tel que $f(t_{1}) = 0{,}5$, et $f(t) < 0{,}5$ pour $t > t_{1}$ par décroissance. La résolution numérique de $t\,\mathrm{e}^{-t} = 0{,}1$ donne $t_{1} \approx 3{,}577$ h, soit, puisque $0{,}577 \times 60 \approx 34{,}6$ : $$\boxed{t_{1} \approx 3 \text{ h } 35 \text{ min}}$$

Le taux monte vite pendant la première heure, puis décroît lentement : il faut plus de deux heures et demie après le pic pour repasser sous le seuil de $0{,}5$ g/L.