Exercice 30

1. Notons $a_{0} = a(x_{0})$ et $b_{0} = b(x_{0})$. D'après le théorème 3, pour tout réel $y_{0}$, une solution prend la valeur $y_{0}$ en $x_{0}$ ; sa dérivée en $x_{0}$ vaut $b_{0} - a_{0}y_{0}$, et sa tangente a pour équation $$Y = y_{0} + (b_{0} - a_{0}y_{0})(X - x_{0}) = y_{0}\big(1 - a_{0}(X - x_{0})\big) + b_{0}(X - x_{0}).$$ Si $a_{0} = 0$, toutes les tangentes ont la pente $b_{0}$ : elles sont parallèles. Si $a_{0} \neq 0$, pour $X = x_{0} + \frac{1}{a_{0}}$, le terme en $y_{0}$ disparaît et $Y = \frac{b_{0}}{a_{0}}$, quel que soit $y_{0}$. $$\boxed{\text{si } a(x_{0}) \neq 0, \text{ toutes les tangentes passent par } \Big(x_{0} + \frac{1}{a(x_{0})}, \frac{b(x_{0})}{a(x_{0})}\Big)}$$ 2. Si $y = \frac{C + x}{1 + x^{2}}$, alors $(1 + x^{2})\,y = C + x$, et en dérivant, $2x\,y + (1 + x^{2})\,y' = 1$. Réciproquement, cette équation, mise sous forme normalisée, a pour solutions homogènes les $\frac{C}{1 + x^{2}}$ et pour solution particulière $\frac{x}{1 + x^{2}}$ : ses solutions sont exactement les fonctions données. $$\boxed{y' + \frac{2x}{1 + x^{2}}\,y = \frac{1}{1 + x^{2}}}$$ 3. D'après le théorème 5, il suffit que $2$ et $-1$ soient les racines de l'équation caractéristique, qui est donc $(r - 2)(r + 1) = r^{2} - r - 2 = 0$. $$\boxed{y'' - y' - 2y = 0}$$