Exercice 35

1. Posons $\varphi(x) = \big(z(x) - y(x)\big)\,\mathrm{e}^{-A(x)}$. Elle est dérivable, et $$\varphi'(x) = \big(z' - y' - a(z - y)\big)\,\mathrm{e}^{-A} = \big(z' - az - b\big)\,\mathrm{e}^{-A} - \big(y' - ay - b\big)\,\mathrm{e}^{-A} = \big(z' - az - b\big)\,\mathrm{e}^{-A} \leqslant 0.$$ La fonction $\varphi$ est donc décroissante, et $\varphi(0) = 0$ : pour $x \geqslant 0$, $\varphi(x) \leqslant 0$, et comme $\mathrm{e}^{-A(x)} > 0$ : $$\boxed{z(x) \leqslant y(x) \text{ pour tout } x \geqslant 0}$$ 2. La fonction $y : x \mapsto g(0)\,\mathrm{e}^{kx}$ vérifie $y' = ky$ et $y(0) = g(0)$. Le raisonnement de la question 1, mené sur $[0\,,+\infty[$ avec $a = k$, $b = 0$ et $z = g$, donne : $$\boxed{g(x) \leqslant g(0)\,\mathrm{e}^{kx} \text{ pour tout } x \geqslant 0}$$ 3. Pour $x \leqslant 0$, la décroissance de $\varphi$ donne $\varphi(x) \geqslant \varphi(0) = 0$ : l'inégalité s'inverse. $$\boxed{z(x) \geqslant y(x) \text{ pour tout } x \leqslant 0}$$ Une sous-solution reste sous la solution dans le futur, et au-dessus dans le passé ; cette comparaison servira à l'exercice 55.