Exercice 36

1. La fonction $\operatorname{Arctan} \circ\, y$ est dérivable sur $I$, de dérivée $\frac{y'}{1 + y^{2}} = 1$ : il existe une constante $c$ telle que $\operatorname{Arctan}(y(x)) = x + c$ pour tout $x \in I$. Comme $\operatorname{Arctan}$ prend ses valeurs dans $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$, on a $x + c$ dans cet intervalle, et en composant par $\tan$ : $$\boxed{y(x) = \tan(x + c), \qquad I \subset \Big]-\frac{\pi}{2} - c\,,\frac{\pi}{2} - c\Big[}$$ L'intervalle $I$ est donc de longueur au plus $\pi$ : il n'existe aucune solution sur $\mathbb{R}$. La longueur $\pi$ est atteinte, par exemple par $\tan$ sur $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$. $$\boxed{\text{aucune solution sur } \mathbb{R} \text{ ; longueur maximale de } I : \pi}$$ Ce phénomène d'« explosion en temps fini » est impossible pour une équation linéaire, dont les solutions sont définies sur tout l'intervalle où les coefficients sont continus (théorème 3).

2. Si $y$ est dérivable et strictement positive, $z = y^{2}$ l'est aussi, avec $z' = 2y\,y'$ ; réciproquement, si $z$ est dérivable et strictement positive, $y = \sqrt{z}$ est dérivable. L'équation devient $$x^{2} + z - x\,z' = 0, \qquad\text{soit}\qquad z' - \frac{1}{x}\,z = x \quad\text{sur } ]0\,,+\infty[,$$ dont les solutions sont les $z(x) = x^{2} + Cx$, comme à l'exercice 33 (a). Il faut enfin $z(x) = x(x + C) > 0$ pour tout $x > 0$, c'est-à-dire $C \geqslant 0$ : si $C < 0$, $z$ est négative sur $]0\,,-C]$. $$\boxed{y(x) = \sqrt{x^{2} + Cx}, \quad C \geqslant 0}$$