Exercice 37

On résout l'équation caractéristique, puis on applique le théorème 5 pour les solutions réelles et le théorème 4 pour les solutions complexes ; les constantes $\lambda$, $\mu$ sont réelles dans le premier cas, complexes dans le second.

(a) $r^{2} - 2r - 3 = (r - 3)(r + 1)$ : les deux écritures coïncident. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{3x} + \mu\,\mathrm{e}^{-x}}$$ (b) $r^{2} - 2r + 1 = (r - 1)^{2}$, racine double $1$. $$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{x}}$$ (c) $\Delta = -16$, racines $1 \pm 2\mathrm{i}$. $$\boxed{\text{réelles : } \mathrm{e}^{x}\big(\lambda\cos(2x) + \mu\sin(2x)\big) \qquad \text{complexes : } \lambda\,\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})x} + \mu\,\mathrm{e}^{(1 - 2\mathrm{i})x}}$$ (d) $4r^{2} + 9 = 0$ a pour racines $\pm\frac{3}{2}\mathrm{i}$. $$\boxed{\text{réelles : } \lambda\cos\frac{3x}{2} + \mu\sin\frac{3x}{2} \qquad \text{complexes : } \lambda\,\mathrm{e}^{3\mathrm{i} x/2} + \mu\,\mathrm{e}^{-3\mathrm{i} x/2}}$$ (e) $\Delta = -3$, racines $-\frac{1}{2} \pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire $j$ et $j^{2}$ (chapitre 4). $$\boxed{\text{réelles : } \mathrm{e}^{-x/2}\Big(\lambda\cos\frac{\sqrt{3}\,x}{2} + \mu\sin\frac{\sqrt{3}\,x}{2}\Big) \qquad \text{complexes : } \lambda\,\mathrm{e}^{jx} + \mu\,\mathrm{e}^{j^{2}x}}$$ (f) $r^{2} - 4 = (r - 2)(r + 2)$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{2x} + \mu\,\mathrm{e}^{-2x}, \text{ que l'on peut aussi écrire } \alpha\operatorname{ch}(2x) + \beta\operatorname{sh}(2x)}$$