Exercice 38

Dans chaque cas, on donne les racines caractéristiques, une solution particulière obtenue par la proposition 10 ou par la méthode qui la suit, puis la solution générale, avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}$.

(a) Racines $1$ et $2$ ; la constante $\frac{1}{2}$ est solution. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{2x} + \frac{1}{2}}$$ (b) Racine double $-2$ ; $1$ n'est pas racine et $P(1) = 9$. $$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{-2x} + \frac{\mathrm{e}^{x}}{9}}$$ (c) Racines $1$ et $-1$. Pour $\mathrm{e}^{2x}$, $P(2) = 3$ ; pour $-\mathrm{e}^{x}$, $1$ est racine simple et $P'(1) = 2$ ; on superpose. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{-x} + \frac{\mathrm{e}^{2x}}{3} - \frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{2}}$$ (d) Racines $1$ et $3$ ; $3$ est racine simple, $P'(3) = 2$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{3x} + \frac{3}{2}\,x\,\mathrm{e}^{3x}}$$ (e) Racines $-\frac{1}{2} \pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$. Pour $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$, $P(\mathrm{i}) = -1 + \mathrm{i} + 1 = \mathrm{i}$, et $\operatorname{Re}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{\mathrm{i}} = \sin x$. $$\boxed{y(x) = \mathrm{e}^{-x/2}\Big(\lambda\cos\frac{\sqrt{3}\,x}{2} + \mu\sin\frac{\sqrt{3}\,x}{2}\Big) + \sin x}$$ (f) Racines $1$ et $-2$. On a $P(\mathrm{i}) = -3 + \mathrm{i}$, et $\operatorname{Re}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{-3 + \mathrm{i}} = \operatorname{Re}\frac{(-3 - \mathrm{i})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{10}$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{-2x} + \frac{\sin x - 3\cos x}{10}}$$ (g) Racine double $-2$ : pour $\mathrm{e}^{-2x}$, la proposition 10 donne $\frac{x^{2}}{2}\,\mathrm{e}^{-2x}$ ; pour la constante $1$, on trouve $\frac{1}{4}$. $$\boxed{y(x) = \Big(\lambda + \mu x + \frac{x^{2}}{2}\Big)\mathrm{e}^{-2x} + \frac{1}{4}}$$ (h) Racines $\pm 1$, toutes deux simples, et $\operatorname{ch} x = \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}$. Les solutions particulières de $y'' - y = \frac{\mathrm{e}^{x}}{2}$ et $y'' - y = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}$ sont $\frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{4}$ et $-\frac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{4}$, puisque $P'(\pm 1) = \pm 2$ ; leur somme est $\frac{x}{2}\operatorname{sh} x$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{-x} + \frac{x}{2}\operatorname{sh} x}$$ (i) Racine double $-1$. Pour $\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}$, $P(1) = 4$ ; pour $-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}$, la racine est double, d'où $-\frac{x^{2}}{4}\,\mathrm{e}^{-x}$. $$\boxed{y(x) = \Big(\lambda + \mu x - \frac{x^{2}}{4}\Big)\mathrm{e}^{-x} + \frac{\mathrm{e}^{x}}{8}}$$ (j) Racines $0$ et $-1$ ; comme $b = 0$ et $a \neq 0$, on cherche un polynôme de degré $2$, et l'identification donne $\frac{x^{2}}{2} - x$. $$\boxed{y(x) = \lambda + \mu\,\mathrm{e}^{-x} + \frac{x^{2}}{2} - x}$$

Piège : en (h) et en (i), on écrit souvent la solution particulière en remplaçant $\operatorname{ch}$ ou $\operatorname{sh}$ par lui-même, ce qui ne marche pas puisque $\mathrm{e}^{x}$ ou $\mathrm{e}^{-x}$ est solution de l'équation homogène ; il faut revenir aux exponentielles et traiter chaque terme selon sa propre position par rapport aux racines.