Exercice 39

Pour les seconds membres trigonométriques, on passe par l'exponentielle complexe ; pour les produits $Q\,\mathrm{e}^{\lambda x}$, la proposition 8 transforme l'équation en $Q'' + P'(\lambda)\,Q' + P(\lambda)\,Q =$ (polynôme). Les constantes $\lambda$ et $\mu$ décrivent $\mathbb{R}$.

(a) Racine double $1$. On écrit $\sin^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. La constante $\frac{1}{2}$ convient pour le premier terme. Pour le second, $P(2\mathrm{i}) = (2\mathrm{i} - 1)^{2} = -3 - 4\mathrm{i}$, et $$\operatorname{Re}\Big(-\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i} x}}{-3 - 4\mathrm{i}}\Big) = \operatorname{Re}\frac{(3 - 4\mathrm{i})\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i} x}}{50} = \frac{3\cos(2x) + 4\sin(2x)}{50}.$$

$$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{x} + \frac{1}{2} + \frac{3\cos(2x) + 4\sin(2x)}{50}}$$ (b) On a $P(1 + \mathrm{i}) = 2\mathrm{i} + 1 + \mathrm{i} + 1 = 2 + 3\mathrm{i}$, et $\operatorname{Re}\frac{\mathrm{e}^{(1 + \mathrm{i})x}}{2 + 3\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{e}^{x}}{13}(2\cos x + 3\sin x)$. $$\boxed{y(x) = \mathrm{e}^{-x/2}\Big(\lambda\cos\frac{\sqrt{3}\,x}{2} + \mu\sin\frac{\sqrt{3}\,x}{2}\Big) + \frac{\mathrm{e}^{x}}{13}(2\cos x + 3\sin x)}$$ (c) Racines $1$ et $2$. On a $P(2 + 3\mathrm{i}) = -9 + 3\mathrm{i}$, et $\operatorname{Im}\frac{\mathrm{e}^{(2 + 3\mathrm{i})x}}{-9 + 3\mathrm{i}} = \operatorname{Im}\frac{(-9 - 3\mathrm{i})\,\mathrm{e}^{(2 + 3\mathrm{i})x}}{90}$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{2x} - \frac{\mathrm{e}^{2x}}{30}\big(3\sin(3x) + \cos(3x)\big)}$$ (d) Racines $1 \pm 2\mathrm{i}$ : le nombre $1 + 2\mathrm{i}$ est racine simple, avec $P'(1 + 2\mathrm{i}) = 4\mathrm{i}$. La proposition 10 donne la solution $\frac{4}{4\mathrm{i}}\,x\,\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})x} = -\mathrm{i} x\,\mathrm{e}^{x}\big(\cos(2x) + \mathrm{i}\sin(2x)\big)$, de partie réelle $x\,\mathrm{e}^{x}\sin(2x)$. $$\boxed{y(x) = \mathrm{e}^{x}\big(\lambda\cos(2x) + \mu\sin(2x)\big) + x\,\mathrm{e}^{x}\sin(2x)}$$ (e) On linéarise : $\cos^{3} x = \frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos(3x)$. Le nombre $\mathrm{i}$ est racine simple, avec $P'(\mathrm{i}) = 2\mathrm{i}$ : la partie réelle de $\frac{3}{4}\cdot\frac{x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{2\mathrm{i}}$ est $\frac{3}{8}\,x\sin x$. Pour le second terme, $P(3\mathrm{i}) = -8$. $$\boxed{y(x) = \lambda\cos x + \mu\sin x + \frac{3}{8}\,x\sin x - \frac{\cos(3x)}{32}}$$ (f) Les racines sont $1$ et $3$, donc $-1$ n'est pas racine ; on a $P(-1) = 8$ et $P'(-1) = -6$. L'équation en $Q$ est $Q'' - 6Q' + 8Q = 2x + 1$, et $Q$ est de degré $1$ : $$Q(x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{16}.$$

$$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{3x} + \Big(\frac{x}{4} + \frac{5}{16}\Big)\mathrm{e}^{-x}}$$ (g) Ici $1$ est racine simple : $P(1) = 0$ et $P'(1) = -2$. L'équation en $Q$ est $Q'' - 2Q' = 2x + 1$ ; $Q'$ doit être de degré $1$, donc $Q$ de degré $2$, et l'on trouve $Q = -\frac{x^{2}}{2} - x$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{3x} - \Big(\frac{x^{2}}{2} + x\Big)\mathrm{e}^{x}}$$ (h) Ici $1$ est racine double : $P(1) = P'(1) = 0$, et l'équation en $Q$ se réduit à $Q'' = x^{2} + 1$. On primitive deux fois. $$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{x} + \Big(\frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{2}\Big)\mathrm{e}^{x}}$$ (i) Racines $\pm 1$. On traite séparément les trois termes, par le principe de superposition (proposition 9) : $-x$ est solution pour le second membre $x$ ; pour $2\mathrm{e}^{x}$, $1$ est racine simple et $P'(1) = 2$, d'où $x\,\mathrm{e}^{x}$ ; pour $\cos x$, $P(\mathrm{i}) = -2$, d'où $-\frac{\cos x}{2}$. $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{-x} - x + x\,\mathrm{e}^{x} - \frac{\cos x}{2}}$$ (j) Racines $\pm 2\mathrm{i}$. Pour $\cos(2x)$, $2\mathrm{i}$ est racine simple, $P'(2\mathrm{i}) = 4\mathrm{i}$, et $\operatorname{Re}\frac{x\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i} x}}{4\mathrm{i}} = \frac{x\sin(2x)}{4}$ ; pour $\sin x$, $P(\mathrm{i}) = 3$ ; pour $\mathrm{e}^{2x}$, $P(2) = 8$. $$\boxed{y(x) = \lambda\cos(2x) + \mu\sin(2x) + \frac{x\sin(2x)}{4} + \frac{\sin x}{3} + \frac{\mathrm{e}^{2x}}{8}}$$

À retenir : dans (i) et (j), chaque terme du second membre se traite avec sa propre méthode, et un seul d'entre eux est en résonance. L'erreur la plus répandue est de chercher une solution particulière unique de la forme « $\alpha x + \beta\,\mathrm{e}^{x} + \gamma\cos x$ », qui échoue à cause du terme résonant.