Exercice 40

D'après le théorème 6, chaque problème a une unique solution ; on la cherche parmi les solutions générales.

(a) La fonction $\frac{x + 1}{9}$ est solution particulière, d'où $y = \frac{x + 1}{9} + \lambda\cos(3x) + \mu\sin(3x)$. Les conditions donnent $\frac{1}{9} + \lambda = 0$ et $\frac{1}{9} + 3\mu = 0$. $$\boxed{y(x) = \frac{x + 1 - \cos(3x)}{9} - \frac{\sin(3x)}{27}}$$ (b) La fonction $x + 2$ est solution particulière, d'où $y = x + 2 + (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{x}$. Les conditions donnent $2 + \lambda = 0$ et $1 + \lambda + \mu = 0$. $$\boxed{y(x) = x + 2 + (x - 2)\,\mathrm{e}^{x}}$$ (c) La fonction $3x^{2} - 6$ est solution particulière, d'où $y = 3x^{2} - 6 + \lambda\cos x + \mu\sin x$. Les conditions donnent $\lambda - 6 = 1$ et $\mu = 2$. $$\boxed{y(x) = 3x^{2} - 6 + 7\cos x + 2\sin x}$$