Exercice 41

1. Le polynôme caractéristique se factorise : $P(r) = (r - 1)(r - \alpha)$. Le nombre $1 + \alpha$ n'est jamais égal à $\alpha$, et il est égal à $1$ si et seulement si $\alpha = 0$. D'où trois cas, les constantes $\lambda$, $\mu$ décrivant $\mathbb{R}$.

• Si $\alpha \notin \{0, 1\}$, les racines $1$ et $\alpha$ sont distinctes, et $P(1 + \alpha) = \alpha \neq 0$ : $$\boxed{y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{x} + \mu\,\mathrm{e}^{\alpha x} + \frac{\mathrm{e}^{(1 + \alpha)x}}{\alpha}}$$

• Si $\alpha = 1$, la racine $1$ est double, et $P(2) = 1$ : $$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{2x}}$$

• Si $\alpha = 0$, le second membre est $\mathrm{e}^{x}$, avec $1$ racine simple et $P'(1) = 1$ : $$\boxed{y(x) = \lambda + \mu\,\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}}$$

2. Les racines sont $\pm\mathrm{i}\omega$, et les solutions homogènes sont les $\lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x)$, toutes bornées. Si $\theta \neq \omega$, alors $\mathrm{i}\theta$ n'est pas racine et $P(\mathrm{i}\theta) = \omega^{2} - \theta^{2}$ : $$\boxed{\theta \neq \omega : \quad y(x) = \lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x) + \frac{\cos(\theta x)}{\omega^{2} - \theta^{2}}}$$ Si $\theta = \omega$, alors $\mathrm{i}\omega$ est racine simple, $P'(\mathrm{i}\omega) = 2\mathrm{i}\omega$, et $\operatorname{Re}\frac{x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}}{2\mathrm{i}\omega} = \frac{x\sin(\omega x)}{2\omega}$ : $$\boxed{\theta = \omega : \quad y(x) = \lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x) + \frac{x\sin(\omega x)}{2\omega}}$$ Dans ce second cas, aucune solution n'est bornée : aux points $x_{k} = \frac{(4k + 1)\pi}{2\omega}$, la solution vaut $\mu + \frac{x_{k}}{2\omega}$, qui tend vers $+\infty$ avec $k$. $$\boxed{\text{toutes les solutions sont bornées si et seulement si } \theta \neq \omega}$$ C'est la résonance du cours : une excitation à la pulsation propre de l'oscillateur produit des oscillations d'amplitude non bornée.