Exercice 42

On utilise trois faits, tirés des croissances comparées du chapitre 5 : pour $r$ réel, $x \mapsto \mathrm{e}^{rx}$ est bornée sur $[0\,,+\infty[$ si et seulement si $r \leqslant 0$ ; $x \mapsto x\,\mathrm{e}^{rx}$ l'est si et seulement si $r < 0$ ; et $x \mapsto \mathrm{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)$, avec $\beta \neq 0$, l'est si et seulement si $\alpha \leqslant 0$, comme on le voit aux points $x = \frac{2k\pi}{\beta}$.

1. On note $\Delta = a^{2} - 4b$, et l'on prend successivement chaque fonction de base, en annulant l'autre constante.

• Si $\Delta > 0$, les racines réelles $r_{1}$ et $r_{2}$ doivent être négatives ; comme $r_{1} + r_{2} = -a$ et $r_{1}r_{2} = b$, cela équivaut à $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$.

• Si $\Delta = 0$, la racine double $-\frac{a}{2}$ doit être strictement négative, à cause du terme $x\,\mathrm{e}^{r_{0}x}$ : $a > 0$.

• Si $\Delta < 0$, la partie réelle $-\frac{a}{2}$ des racines doit être négative : $a \geqslant 0$, et alors $b > \frac{a^{2}}{4} \geqslant 0$.

Les trois cas se résument en une seule condition, le point $(0, 0)$ étant exclu par le deuxième cas, puisque $y'' = 0$ a pour solution $x \mapsto x$. $$\boxed{a \geqslant 0, \quad b \geqslant 0, \quad (a, b) \neq (0, 0)}$$ 2. Une fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{rx}$, avec $r$ réel, n'est bornée sur $\mathbb{R}$ que si $r = 0$. Si $\Delta > 0$, les deux racines distinctes ne peuvent être nulles toutes les deux ; si $\Delta = 0$, la fonction $x \mapsto x\,\mathrm{e}^{r_{0}x}$ n'est jamais bornée sur $\mathbb{R}$ ; si $\Delta < 0$, il faut et il suffit que la partie réelle $-\frac{a}{2}$ soit nulle. $$\boxed{a = 0 \text{ et } b > 0}$$ Les solutions sont alors les oscillations $\lambda\cos(\sqrt{b}\,x) + \mu\sin(\sqrt{b}\,x)$.

3. Si $a > 0$ et $b > 0$ : lorsque $\Delta > 0$, les racines ont un produit positif et une somme négative, donc sont strictement négatives ; lorsque $\Delta = 0$, la racine double $-\frac{a}{2}$ est strictement négative, et $x\,\mathrm{e}^{r_{0}x}$ tend vers $0$ par croissances comparées ; lorsque $\Delta < 0$, on a $|y(x)| \leqslant (|\lambda| + |\mu|)\,\mathrm{e}^{-ax/2}$. $$\boxed{\text{toute solution tend vers } 0 \text{ en } +\infty}$$ Pour l'oscillateur amorti $y'' + 2\xi y' + y = 0$ du cours, on a $a = 2\xi > 0$ et $b = 1 > 0$ : quel que soit le régime, pseudo-périodique, critique ou apériodique, le système revient à sa position d'équilibre.

Le quart de plan bleuté, bords compris mais origine exclue, rassemble les couples $(a, b)$ pour lesquels toutes les solutions sont bornées sur $[0\,,+\infty[$ ; seule la demi-droite $a = 0$, $b > 0$, en carmin, donne des solutions bornées sur $\mathbb{R}$. La parabole $b = \frac{a^{2}}{4}$ sépare les régimes oscillant, au-dessus, et non oscillant, au-dessous.