Exercice 43

1. La fonction $t \mapsto \mathrm{e}^{t}$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0\,,+\infty[$, de réciproque $\ln$ ; ainsi $y$ est deux fois dérivable sur $]0\,,+\infty[$ si et seulement si $z = y \circ \exp$ l'est sur $\mathbb{R}$. En dérivant la composée : $$z'(t) = \mathrm{e}^{t}\,y'(\mathrm{e}^{t}), \qquad z''(t) = \mathrm{e}^{t}\,y'(\mathrm{e}^{t}) + \mathrm{e}^{2t}\,y''(\mathrm{e}^{t}).$$ Avec $x = \mathrm{e}^{t}$, on obtient $x\,y'(x) = z'(t)$ et $x^{2}y''(x) = z''(t) - z'(t)$, d'où $$x^{2}y''(x) - 3x\,y'(x) + 4y(x) = z''(t) - 4z'(t) + 4z(t).$$ Comme $x$ décrit $]0\,,+\infty[$ quand $t$ décrit $\mathbb{R}$, $y$ est solution de $(E_{1})$ si et seulement si $z'' - 4z' + 4z = 0$. Cette équation a la racine double $2$ : $z(t) = (\lambda + \mu t)\,\mathrm{e}^{2t}$, et l'on revient à $y(x) = z(\ln x)$. $$\boxed{y(x) = (\lambda + \mu\ln x)\,x^{2}, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$ 2. Le même calcul transforme l'équation en $z'' - z' + 3z' + z = (\mathrm{e}^{t} + 1)^{2}$, soit $$z'' + 2z' + z = \mathrm{e}^{2t} + 2\mathrm{e}^{t} + 1.$$ La racine caractéristique est $-1$, double ; on superpose les solutions particulières $\frac{\mathrm{e}^{2t}}{9}$, $\frac{2\mathrm{e}^{t}}{4}$ et $1$, puis l'on revient à $x$. $$\boxed{y(x) = \frac{\lambda + \mu\ln x}{x} + \frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{2} + 1, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$ 3. La fonction $\sin$ est une bijection de $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$ sur $]-1\,,1[$, de réciproque $\operatorname{Arcsin}$, dérivable (chapitre 5). Avec $z(t) = y(\sin t)$, on a $$z'(t) = \cos t\;y'(\sin t), \qquad z''(t) = -\sin t\;y'(\sin t) + \cos^{2} t\;y''(\sin t),$$ et, avec $x = \sin t$, $(1 - x^{2})\,y'' - x\,y' + y = z'' + z$. Donc $y$ est solution si et seulement si $z = \lambda\cos t + \mu\sin t$, et $\cos t = \sqrt{1 - x^{2}}$ puisque $\cos t > 0$. $$\boxed{y(x) = \lambda\sqrt{1 - x^{2}} + \mu x, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$