Exercice 44

(a) On a $u' = 2x\,y' + (1 + x^{2})\,y''$ : l'équation s'écrit $u' = 0$, donc $u$ est une constante $C$, et $y' = \frac{C}{1 + x^{2}}$. $$\boxed{y(x) = C\operatorname{Arctan} x + D, \quad (C, D) \in \mathbb{R}^{2}}$$ (b) On a $z' = y'' + y'$, et l'on regroupe les termes de l'équation : $$(1 + \mathrm{e}^{x})\,y'' + y' - \mathrm{e}^{x}y = (1 + \mathrm{e}^{x})(y'' + y') - \mathrm{e}^{x}(y' + y) = (1 + \mathrm{e}^{x})\,z' - \mathrm{e}^{x}z.$$ L'équation équivaut donc à $z' = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\,z$, d'où $z = C(1 + \mathrm{e}^{x})$. Il reste à résoudre $y' + y = C + C\,\mathrm{e}^{x}$, dont une solution particulière est $C + \frac{C}{2}\mathrm{e}^{x}$. $$\boxed{y(x) = C\Big(1 + \frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\Big) + D\,\mathrm{e}^{-x}, \quad (C, D) \in \mathbb{R}^{2}}$$ (c) On écrit $y = z\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ; alors $y' = (z' - 2xz)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ et $y'' = \big(z'' - 4xz' + (4x^{2} - 2)\,z\big)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$. En reportant, les termes en $z'$ et en $x^{2}z$ se compensent : $$y'' + 4x\,y' + (3 + 4x^{2})\,y = (z'' + z)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}.$$

$$\boxed{y(x) = \mathrm{e}^{-x^{2}}(\lambda\cos x + \mu\sin x), \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$ (d) On a $z' = y + x\,y'$ et $z'' = 2y' + x\,y''$ ; l'équation s'écrit $(x\,y'' + 2y') + 2(x\,y' + y) + x\,y = z'' + 2z' + z = 0$. La racine $-1$ est double, donc $z = (\lambda + \mu x)\,\mathrm{e}^{-x}$. $$\boxed{y(x) = \Big(\frac{\lambda}{x} + \mu\Big)\mathrm{e}^{-x}, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$