Exercice 45

1. En dérivant $y = \lambda\cos x + \mu\sin x$ et en utilisant l'hypothèse $\lambda'\cos x + \mu'\sin x = 0$ : $$y' = \underbrace{\lambda'\cos x + \mu'\sin x}_{= 0} - \lambda\sin x + \mu\cos x = -\lambda\sin x + \mu\cos x.$$ On dérive encore, ce qui suppose $\lambda$ et $\mu$ dérivables : $y'' = -\lambda'\sin x + \mu'\cos x - \lambda\cos x - \mu\sin x$, d'où $y'' + y = -\lambda'\sin x + \mu'\cos x$. $$\boxed{y \text{ est solution de } (E) \iff -\lambda'\sin x + \mu'\cos x = \frac{1}{\cos x}}$$ 2. On multiplie la première équation par $\cos x$ et la seconde par $-\sin x$, puis on ajoute ; et de même avec $\sin x$ et $\cos x$. Comme $\cos^{2} + \sin^{2} = 1$, on obtient $$\lambda' = -\frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \mu' = 1, \qquad\text{d'où}\qquad \lambda = \ln(\cos x), \quad \mu = x.$$

$$\boxed{y_{p}(x) = \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x}$$ 3. D'après la proposition 9, les solutions de $(E)$ sur $I$ sont : $$\boxed{y(x) = \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x + A\cos x + B\sin x, \quad (A, B) \in \mathbb{R}^{2}}$$ Pour le second membre $\tan x$, le même système donne $\lambda' = -\sin x\tan x = \cos x - \frac{1}{\cos x}$ et $\mu' = \sin x$. Une primitive de $\frac{1}{\cos x}$ sur $I$ s'obtient par la règle de Bioche de l'exercice 22, avec $u = \sin x$ : c'est $\frac{1}{2}\ln\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$. Ainsi $\lambda = \sin x - \frac{1}{2}\ln\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ et $\mu = -\cos x$, et les termes $\sin x\cos x$ se compensent dans $\lambda\cos x + \mu\sin x$. $$\boxed{y(x) = -\frac{\cos x}{2}\ln\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} + A\cos x + B\sin x, \quad (A, B) \in \mathbb{R}^{2}}$$

À retenir : la condition $\lambda'\cos x + \mu'\sin x = 0$ est un choix, qui rend $y'$ aussi simple que si $\lambda$ et $\mu$ étaient constantes ; elle transforme une équation en deux inconnues en un système, et la méthode s'applique à tout second membre continu, là où la proposition 10 ne traite que les exponentielles.