Exercice 46

1. La première relation donne $y' = y + z$, qui est dérivable : $y$ est deux fois dérivable, et $$y'' = y' + z' = y' + 3y - z = y' + 3y - (y' - y) = 4y.$$ D'où $y = \lambda\,\mathrm{e}^{2x} + \mu\,\mathrm{e}^{-2x}$, puis $z = y' - y = \lambda\,\mathrm{e}^{2x} - 3\mu\,\mathrm{e}^{-2x}$. Réciproquement, on vérifie que $$z' + z = 3\lambda\,\mathrm{e}^{2x} + 3\mu\,\mathrm{e}^{-2x} = 3y.$$

$$\boxed{(y, z) = \big(\lambda\,\mathrm{e}^{2x} + \mu\,\mathrm{e}^{-2x},\ \lambda\,\mathrm{e}^{2x} - 3\mu\,\mathrm{e}^{-2x}\big), \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$ 2. En dérivant $u = x' + \mathrm{i} y'$ : $$u' = x'' + \mathrm{i} y'' = \omega y' - \mathrm{i}\omega x' = -\mathrm{i}\omega(x' + \mathrm{i} y') = -\mathrm{i}\omega u.$$ D'après le théorème 2, $u(t) = u_{0}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$, avec $u_{0} = x'(0) + \mathrm{i} y'(0)$. En primitivant, avec $w = x + \mathrm{i} y$ et $w_{0} = w(0)$ : $$w(t) = w_{0} + \frac{u_{0}}{-\mathrm{i}\omega}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} - 1\big) = c + \frac{\mathrm{i} u_{0}}{\omega}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, \qquad c = w_{0} - \frac{\mathrm{i} u_{0}}{\omega}.$$ Enfin $z'' = 0$ donne $z(t) = z(0) + z'(0)\,t$. $$\boxed{x(t) + \mathrm{i} y(t) = c + \frac{\mathrm{i} u_{0}}{\omega}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, \qquad z(t) = z(0) + z'(0)\,t}$$ Si $u_{0} \neq 0$, le point $(x, y)$ parcourt à vitesse angulaire constante $\omega$ le cercle de centre $c$ et de rayon $\frac{|u_{0}|}{\omega}$, pendant que $z$ varie linéairement : la trajectoire est une hélice d'axe vertical, de pas $\frac{2\pi z'(0)}{\omega}$, et un cercle si $z'(0) = 0$. Si $u_{0} = 0$, la particule se déplace en ligne droite le long du champ.