Exercice 47

1. Soit $f$ une solution, trois fois dérivable. La fonction $g = f + f' + f''$ vérifie $$g' = f' + f'' + f''' = f' + f'' + f = g,$$ donc $g = C\,\mathrm{e}^{x}$, avec $C \in \mathbb{C}$. Ainsi $f$ est solution de $f'' + f' + f = C\,\mathrm{e}^{x}$, dont les racines caractéristiques sont $j$ et $j^{2} = \overline{j}$, et une solution particulière est $\frac{C}{3}\,\mathrm{e}^{x}$, puisque $P(1) = 3$. Réciproquement, $x \mapsto \mathrm{e}^{rx}$ est solution dès que $r^{3} = 1$, et c'est le cas pour $1$, $j$ et $j^{2}$. $$\boxed{f(x) = \alpha\,\mathrm{e}^{x} + \beta\,\mathrm{e}^{jx} + \gamma\,\mathrm{e}^{j^{2}x}, \quad (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{C}^{3}}$$ On retrouve les trois racines cubiques de l'unité : l'équation caractéristique d'une équation d'ordre $3$ est de degré $3$.

2. Posons $\varphi(t) = f'(t)\sin(t - x) - f(t)\cos(t - x)$. En dérivant, les termes en $f'(t)\cos(t - x)$ se compensent : $$\varphi'(t) = f''(t)\sin(t - x) + f(t)\sin(t - x) = \big(f''(t) + f(t)\big)\sin(t - x).$$ Sur $[x\,,x + \pi]$, on a $\sin(t - x) \geqslant 0$, donc $\varphi' \geqslant 0$ et $\varphi(x + \pi) \geqslant \varphi(x)$. Or $\varphi(x) = -f(x)$ et $\varphi(x + \pi) = -f(x + \pi)\cos\pi = f(x + \pi)$. $$\boxed{f(x) + f(x + \pi) \geqslant 0 \text{ pour tout réel } x}$$ Par exemple, pour $f = \sin$, on a $f'' + f = 0$ et $\sin x + \sin(x + \pi) = 0$ : l'inégalité est une égalité.