ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 6 — Primitives et équations différentielles linéaires · Exercices de synthèse

Exercice 48

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ admet une primitive sur $\mathbb{R}$ .

2. Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction sur $\mathbb{R}^{*}$ , alors $F - G$ est constante.

3. Si $f$ est continue et positive sur $[a\,,b]$ , avec $a < b$ , et si $\displaystyle\int_{a}^{b} f = 0$ , alors $f$ est nulle.

4. $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}} = -2$ .

5. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} |\sin t|\,\mathrm{d} t = 4$ .

6. La fonction $x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}}\,\mathrm{d} t$ a pour dérivée $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{4}}$ .

7. Une solution de $y' + y = 0$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en un point est la fonction nulle.

8. L'équation $y'' + y = 0$ admet une solution non nulle telle que $y(0) = y(\pi) = 0$ .

9. Toutes les solutions de $y'' + y = \cos x$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ .

10. Si $y_{1}$ est solution de $y' + a(x)y = b_{1}(x)$ et $y_{2}$ de $y' + a(x)y = b_{2}(x)$ , alors $y_{1} + y_{2}$ est solution de $y' + a(x)y = b_{1}(x) + b_{2}(x)$ .

Corrigé

1. Vraie. C'est le théorème 1 du cours, appliqué à l'intervalle $\mathbb{R}$ .

2. Fausse. L'ensemble $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un intervalle : la fonction égale à $\ln|x|$ sur $]-\infty\,,0[$ et à $\ln x + 1$ sur $]0\,,+\infty[$ est une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ , et sa différence avec $\ln|\cdot|$ n'est pas constante (exercice 3).

3. Vraie. C'est l'exercice 5, question 1 : la primitive nulle en $a$ est croissante, nulle en $a$ et en $b$ , donc nulle, et sa dérivée $f$ aussi.

4. Fausse. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ n'est pas continue sur $[-1\,,1]$ : l'intégrale n'est pas définie, et le calcul formel donne un nombre négatif pour une fonction positive (exercice 3).

5. Vraie. La fonction $|\sin|$ est $\pi$ -périodique, d'où $\int_{0}^{2\pi} |\sin t|\,\mathrm{d} t = 2\int_{0}^{\pi} \sin t\,\mathrm{d} t = 2 \times 2 = 4$ .

6. Fausse. Si $G$ est une primitive de $t \mapsto \mathrm{e}^{-t^{2}}$ , la fonction vaut $G(x^{2}) - G(0)$ , de dérivée $2x\,\mathrm{e}^{-x^{4}}$ (exercice 4).

7. Vraie. Les solutions sont les $\lambda\,\mathrm{e}^{-x}$ , et $\lambda\,\mathrm{e}^{-x_{0}} = 0$ impose $\lambda = 0$ (remarque du cours après le théorème 2).

8. Vraie. La fonction $\sin$ est solution, non nulle, et s'annule en $0$ et en $\pi$ : un problème avec deux conditions en deux points distincts n'est pas un problème de Cauchy, et l'unicité n'a pas à s'appliquer.

9. Fausse. La solution particulière $x \mapsto \frac{x\sin x}{2}$ n'est pas bornée, et les solutions homogènes le sont : aucune solution n'est bornée (exercice 41).

10. Vraie. C'est le principe de superposition (proposition 7).

Énoncé PDF, p. 13 Corrigé PDF, p. 36 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Théorème fondamental de l'analyse Propriétés de l'intégrale de Riemann L'exponentielle, réciproque du logarithme Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Thèmes

primitives, intégrales, primitives trigonométriques, équations différentielles, second ordre, problème de cauchy

Notions

intégrable au sens de Riemann, équation différentielle, exponentielle