Exercice 13

(a) On simplifie d'abord : $t^{2} - 1 = (t - 1)(t + 1)$, donc $\frac{t + 1}{t(t^{2} - 1)} = \frac{1}{t(t - 1)} = \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t}$. $$\int_{2}^{3} \frac{t + 1}{t(t^{2} - 1)}\,\mathrm{d} t = \Big[\ln\frac{t - 1}{t}\Big]_{2}^{3} = \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \boxed{\ln\frac{4}{3}}$$ (b) C'est le premier exemple du cours : $\frac{1}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$. $$\int_{3}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} - 3x + 2} = \Big[\ln\frac{x - 2}{x - 1}\Big]_{3}^{4} = \boxed{\ln\frac{4}{3}}$$ (c) C'est le second exemple du cours : $x^{2} + 2x + 5 = (x + 1)^{2} + 4$. $$\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} + 2x + 5} = \Big[\frac{1}{2}\operatorname{Arctan}\frac{x + 1}{2}\Big]_{-1}^{1} = \boxed{\frac{\pi}{8}}$$ Les intégrales (a) et (b) sont égales sans que ce soit un hasard : le changement de variable $x = t + 1$ transforme l'une en l'autre.