Exercice 14

1. Par l'exponentielle complexe. On a $\mathrm{e}^{2x}\sin(3x) = \operatorname{Im}\big(\mathrm{e}^{(2 + 3\mathrm{i})x}\big)$, et une primitive de $\mathrm{e}^{(2 + 3\mathrm{i})x}$ est $$\frac{\mathrm{e}^{(2 + 3\mathrm{i})x}}{2 + 3\mathrm{i}} = \frac{2 - 3\mathrm{i}}{13}\,\mathrm{e}^{2x}\big(\cos(3x) + \mathrm{i}\sin(3x)\big),$$ dont la partie imaginaire est $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{13}\big(2\sin(3x) - 3\cos(3x)\big)$. $$\boxed{\int^{x} \mathrm{e}^{2t}\sin(3t)\,\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{13}\big(2\sin(3x) - 3\cos(3x)\big)}$$ Par parties. Notons $S = \int^{x} \mathrm{e}^{2t}\sin(3t)\,\mathrm{d} t$ et $C = \int^{x} \mathrm{e}^{2t}\cos(3t)\,\mathrm{d} t$. En primitivant l'exponentielle, deux intégrations par parties donnent $$S = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\sin(3x) - \frac{3}{2}\,C \qquad\text{et}\qquad C = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\cos(3x) + \frac{3}{2}\,S,$$ d'où $S = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\sin(3x) - \frac{3\mathrm{e}^{2x}}{4}\cos(3x) - \frac{9}{4}S$, soit $\frac{13}{4}S = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{4}\big(2\sin(3x) - 3\cos(3x)\big)$ : on retrouve le résultat.

Pour la seconde fonction, $\operatorname{ch} x\cos x = \frac{1}{2}\operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{(1 + \mathrm{i})x} + \mathrm{e}^{(-1 + \mathrm{i})x}\big)$. Les primitives $\frac{\mathrm{e}^{(1 + \mathrm{i})x}}{1 + \mathrm{i}} = \frac{1 - \mathrm{i}}{2}\mathrm{e}^{(1 + \mathrm{i})x}$ et $\frac{\mathrm{e}^{(-1 + \mathrm{i})x}}{-1 + \mathrm{i}} = -\frac{1 + \mathrm{i}}{2}\mathrm{e}^{(-1 + \mathrm{i})x}$ ont pour parties réelles $\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}(\cos x + \sin x)$ et $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}(\sin x - \cos x)$. En regroupant les termes en $\cos x$ et en $\sin x$ : $$\boxed{\int^{x} \operatorname{ch} t\cos t\,\mathrm{d} t = \frac{1}{2}\big(\operatorname{sh} x\cos x + \operatorname{ch} x\sin x\big)}$$ Deux intégrations par parties, en primitivant $\operatorname{ch}$ puis $\operatorname{sh}$, donnent $$\int^{x} \operatorname{ch} t\cos t\,\mathrm{d} t = \operatorname{sh} x\cos x + \operatorname{ch} x\sin x - \int^{x} \operatorname{ch} t\cos t\,\mathrm{d} t,$$ d'où le même résultat. La méthode complexe évite de résoudre une équation en l'intégrale cherchée.

2. Une primitive de $\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})x}$ est $\frac{\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})x}}{1 + 2\mathrm{i}}$, et $\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})\pi} = \mathrm{e}^{\pi}$ : $$\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x}\sin(2x)\,\mathrm{d} x = \operatorname{Im}\frac{\mathrm{e}^{\pi} - 1}{1 + 2\mathrm{i}} = \operatorname{Im}\frac{(\mathrm{e}^{\pi} - 1)(1 - 2\mathrm{i})}{5} = \boxed{\frac{2}{5}\,(1 - \mathrm{e}^{\pi})}.$$ Pour la seconde, on linéarise $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$, et l'on calcule de même $$\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{-x}\cos(2x)\,\mathrm{d} x = \operatorname{Re}\frac{\mathrm{e}^{-2\pi} - 1}{-1 + 2\mathrm{i}} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2\pi}}{5},$$ d'où $$\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{-x}\sin^{2} x\,\mathrm{d} x = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2\pi}}{2} - \frac{1 - \mathrm{e}^{-2\pi}}{10} = \boxed{\frac{2}{5}\,(1 - \mathrm{e}^{-2\pi})}.$$ La première intégrale est négative, ce qu'il est bon de vérifier : sur $\big[\frac{\pi}{2}\,,\pi\big]$, où $\sin(2x) \leqslant 0$, le facteur $\mathrm{e}^{x}$ est le plus grand.

3. Pour $\sin^{5} x$, on isole un facteur $\sin x$ et l'on écrit $\sin^{4} x = (1 - \cos^{2} x)^{2}$ : l'intégrande devient $\sin x\,(1 - 2\cos^{2} x + \cos^{4} x)$, de la forme $-u'(1 - 2u^{2} + u^{4})$ avec $u = \cos$. $$\boxed{\int^{x} \sin^{5} t\,\mathrm{d} t = -\cos x + \frac{2}{3}\cos^{3} x - \frac{1}{5}\cos^{5} x}$$ Pour $\cos^{4} x\sin^{2} x = (\sin x\cos x)^{2}\cos^{2} x = \frac{\sin^{2}(2x)}{4}\cdot\frac{1 + \cos(2x)}{2}$, on obtient $\frac{1 - \cos(4x)}{16} + \frac{1}{8}\sin^{2}(2x)\cos(2x)$, le dernier terme étant de la forme $\frac{1}{16}u'u^{2}$ avec $u = \sin(2x)$. $$\boxed{\int^{x} \cos^{4} t\sin^{2} t\,\mathrm{d} t = \frac{x}{16} - \frac{\sin(4x)}{64} + \frac{\sin^{3}(2x)}{48}}$$ Pour la troisième, $\cos^{3} x = \frac{3\cos x + \cos(3x)}{4}$ (chapitre 4), d'où $$\cos(3x)\cos^{3} x = \frac{3}{4}\cos(3x)\cos x + \frac{1}{4}\cos^{2}(3x) = \frac{3}{8}\big(\cos(4x) + \cos(2x)\big) + \frac{1 + \cos(6x)}{8}.$$

$$\boxed{\int^{x} \cos(3t)\cos^{3} t\,\mathrm{d} t = \frac{x}{8} + \frac{3\sin(2x)}{16} + \frac{3\sin(4x)}{32} + \frac{\sin(6x)}{48}}$$ 4. On linéarise : $\cos t\cos(3t) = \frac{1}{2}\big(\cos(4t) + \cos(2t)\big)$, puis, en multipliant par $\cos(2t)$, $$\cos t\cos(2t)\cos(3t) = \frac{1}{4}\big(1 + \cos(2t) + \cos(4t) + \cos(6t)\big).$$ Chaque cosinus a une intégrale nulle sur $[0\,,2\pi]$, et il ne reste que la constante. $$\boxed{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos t\cos(2t)\cos(3t)\,\mathrm{d} t = \frac{1}{4}}$$