Exercice 15

On note $u'$ le facteur que l'on primitive et $v$ celui que l'on dérive (proposition 4).

(a) Deux intégrations par parties, en dérivant le polynôme : $$\int_{0}^{1} t^{2}\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d} t = \big[t^{2}\mathrm{e}^{t}\big]_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1} t\,\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d} t = \mathrm{e} - 2\Big(\big[t\,\mathrm{e}^{t}\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d} t\Big) = \mathrm{e} - 2 \cdot 1 = \boxed{\mathrm{e} - 2}.$$ (b) On dérive $\ln$ et l'on primitive $t^{2}$ : $$\int_{1}^{\mathrm{e}} t^{2}\ln t\,\mathrm{d} t = \Big[\frac{t^{3}}{3}\ln t\Big]_{1}^{\mathrm{e}} - \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{t^{2}}{3}\,\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{e}^{3}}{3} - \frac{\mathrm{e}^{3} - 1}{9} = \boxed{\frac{2\mathrm{e}^{3} + 1}{9}}.$$ (c) On dérive $t$, et $\cos(3\pi) = -1$ : $$\int_{0}^{\pi} t\sin(3t)\,\mathrm{d} t = \Big[-\frac{t\cos(3t)}{3}\Big]_{0}^{\pi} + \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} \cos(3t)\,\mathrm{d} t = \frac{\pi}{3} + 0 = \boxed{\frac{\pi}{3}}.$$ (d) On primitive $\frac{1}{(1 + t)^{2}}$ en choisissant la primitive $1 - \frac{1}{1 + t} = \frac{t}{1 + t}$, qui simplifie le calcul : $$\int_{1}^{2} \frac{\ln t}{(1 + t)^{2}}\,\mathrm{d} t = \Big[\frac{t\ln t}{1 + t}\Big]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t} = \frac{2}{3}\ln 2 - \ln\frac{3}{2} = \boxed{\frac{5}{3}\ln 2 - \ln 3}.$$ (e) On écrit $t^{3}\mathrm{e}^{t^{2}} = t^{2}\cdot t\,\mathrm{e}^{t^{2}}$ et l'on primitive $t\,\mathrm{e}^{t^{2}}$ en $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t^{2}}$ : $$\int_{0}^{1} t^{3}\mathrm{e}^{t^{2}}\,\mathrm{d} t = \Big[\frac{t^{2}\mathrm{e}^{t^{2}}}{2}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} t\,\mathrm{e}^{t^{2}}\,\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{e}}{2} - \frac{\mathrm{e} - 1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}}.$$ (f) La fonction $\operatorname{Arcsin}$ n'est pas dérivable en $1$ : on ne peut pas intégrer par parties directement sur $[0\,,1]$ dans le cadre du cours. On pose d'abord $x = \sin\theta$, avec $\theta \in \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, ce qui donne $\int_{0}^{\pi/2} \theta^{2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$, puis deux intégrations par parties : $$\int_{0}^{\pi/2} \theta^{2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \big[\theta^{2}\sin\theta\big]_{0}^{\pi/2} - 2\int_{0}^{\pi/2} \theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{\pi^{2}}{4} - 2\big[\sin\theta - \theta\cos\theta\big]_{0}^{\pi/2} = \boxed{\frac{\pi^{2}}{4} - 2}.$$ (g) On dérive $\operatorname{Arctan}$ et l'on primitive $x^{2}$, puis on divise : $\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} = x - \frac{x}{1 + x^{2}}$. $$\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2}\operatorname{Arctan} x\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{x^{3}}{3}\operatorname{Arctan} x\Big]_{0}^{\sqrt{3}} - \frac{1}{3}\Big[\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})\Big]_{0}^{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} + \frac{\ln 2}{3}}.$$ (h) On primitive $\frac{1}{t^{2}}$ en $-\frac{1}{t}$, puis $\frac{1}{t(1 + t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t}$ : $$\int_{1}^{2} \frac{\ln(1 + t)}{t^{2}}\,\mathrm{d} t = \Big[-\frac{\ln(1 + t)}{t}\Big]_{1}^{2} + \Big[\ln\frac{t}{1 + t}\Big]_{1}^{2} = -\frac{\ln 3}{2} + \ln 2 + \ln\frac{4}{3} = \boxed{3\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3}.$$ (i) On primitive $x$ en $\frac{1 + x^{2}}{2}$ plutôt qu'en $\frac{x^{2}}{2}$, ce qui simplifie le dénominateur de la dérivée de $\operatorname{Arctan}^{2}$ : $$\int_{0}^{1} x(\operatorname{Arctan} x)^{2}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{1 + x^{2}}{2}(\operatorname{Arctan} x)^{2}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \operatorname{Arctan} x\,\mathrm{d} x = \frac{\pi^{2}}{16} - \Big(\frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}\Big),$$ la dernière intégrale ayant été calculée dans le cours. $$\boxed{\int_{0}^{1} x(\operatorname{Arctan} x)^{2}\,\mathrm{d} x = \frac{\pi^{2}}{16} - \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2}}$$

À retenir : en (d) et en (i), on a choisi une primitive autre que la plus simple ; la constante ajoutée ne change rien à la formule, mais elle peut rendre l'intégrale restante beaucoup plus facile.