Exercice 12

(a) En multipliant par $x - 1$ et en faisant $x = 1$, on obtient $a = \frac{48}{16} = 3$ ; en multipliant par $(x + 3)^{2}$ et en faisant $x = -3$, $c = \frac{45 - 63 + 22}{-4} = -1$ ; enfin, en multipliant par $x$ et en faisant tendre $x$ vers $+\infty$, $5 = a + b$, soit $b = 2$. $$\boxed{\frac{5x^{2} + 21x + 22}{(x - 1)(x + 3)^{2}} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{(x + 3)^{2}}}$$ Une primitive sur $]1\,,+\infty[$ est $x \mapsto 3\ln(x - 1) + 2\ln(x + 3) + \frac{1}{x + 3}$, qui vaut $2\ln 5 + \frac{1}{5}$ en $2$. $$\boxed{x \mapsto 3\ln(x - 1) + 2\ln\frac{x + 3}{5} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{5}}$$ (b) On pose $u = x - 1$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 2(u + 1)^{2} - 3(u + 1) + 4 = 2u^{2} + u + 3$, d'où, en divisant par $u^{2}$, $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$. $$\boxed{\frac{2x^{2} - 3x + 4}{(x - 1)^{2}} = 2 + \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^{2}}} \qquad \boxed{x \mapsto 2x + \ln(x - 1) - \frac{3}{x - 1}}$$ (c) On a $(x^{2} - 4)^{2} = (x - 2)^{2}(x + 2)^{2}$. En multipliant par $(x - 2)^{2}$ et en faisant $x = 2$, $a = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ ; de même $b = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$. On vérifie : $\frac{1}{8}\cdot\frac{(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}}{(x^{2} - 4)^{2}} = \frac{1}{8}\cdot\frac{8x}{(x^{2} - 4)^{2}}$. ✓ $$\boxed{\frac{x}{(x^{2} - 4)^{2}} = \frac{1}{8(x - 2)^{2}} - \frac{1}{8(x + 2)^{2}}} \qquad \boxed{x \mapsto -\frac{1}{8(x - 2)} + \frac{1}{8(x + 2)} = -\frac{1}{2(x^{2} - 4)}}$$ On retrouve ce résultat directement, puisque $\frac{x}{(x^{2} - 4)^{2}} = \frac{1}{2}\,u'u^{-2}$ avec $u = x^{2} - 4$, de primitive $-\frac{1}{2u}$.

(d) En multipliant par $1 - x$ et en faisant $x = 1$, $a = \frac{1}{(1 + 1)(1 + 1)} = \frac{1}{4}$ ; de même $b = \frac{1}{4}$ ; et $x = 0$ donne $1 = a + b + c$, soit $c = \frac{1}{2}$. $$\boxed{\frac{1}{1 - x^{4}} = \frac{1}{4(1 - x)} + \frac{1}{4(1 + x)} + \frac{1}{2(1 + x^{2})}} \qquad \boxed{x \mapsto \frac{1}{4}\ln\frac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2}\operatorname{Arctan} x}$$

À retenir : la technique « multiplier par le facteur, puis évaluer en sa racine » donne directement le coefficient des termes de plus haut degré ; les autres s'obtiennent par une valeur particulière ou par un comportement en $+\infty$. Le chapitre 13 en fera une méthode générale.