Exercice 9

1. On développe les deux membres : $$x^{4}(1 - x)^{4} = x^{8} - 4x^{7} + 6x^{6} - 4x^{5} + x^{4},$$

$$(1 + x^{2})(x^{6} - 4x^{5} + 5x^{4} - 4x^{2} + 4) - 4 = x^{8} - 4x^{7} + 6x^{6} - 4x^{5} + x^{4}. \quad \checkmark$$ 2. En divisant par $1 + x^{2}$, on obtient la somme d'un polynôme et d'une fraction, que l'on intègre terme à terme : $$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1 - x)^{4}}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{1} (x^{6} - 4x^{5} + 5x^{4} - 4x^{2} + 4)\,\mathrm{d} x - 4\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1 + x^{2}} = \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi.$$

$$\boxed{\int_{0}^{1} \frac{x^{4}(1 - x)^{4}}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d} x = \frac{22}{7} - \pi}$$ L'intégrande est continue, positive et non nulle sur $[0\,,1]$ : d'après l'exercice 5, l'intégrale est strictement positive. $$\boxed{\pi < \frac{22}{7}}$$ 3. On développe : $\int_{0}^{1} (x^{8} - 4x^{7} + 6x^{6} - 4x^{5} + x^{4})\,\mathrm{d} x = \frac{1}{9} - \frac{1}{2} + \frac{6}{7} - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}$. $$\boxed{\int_{0}^{1} x^{4}(1 - x)^{4}\,\mathrm{d} x = \frac{1}{630}}$$ Pour $x \in [0\,,1]$, on a $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{1 + x^{2}} \leqslant 1$ ; en multipliant par $x^{4}(1 - x)^{4} \geqslant 0$ et en intégrant, on obtient $$\frac{1}{1260} \leqslant \frac{22}{7} - \pi \leqslant \frac{1}{630}.$$ Comme $\frac{22}{7} = \frac{1980}{630} = \frac{3960}{1260}$, on en déduit : $$\boxed{\frac{1979}{630} \leqslant \pi \leqslant \frac{3959}{1260}}$$ L'encadrement est de longueur $\frac{1}{1260} \approx 8 \cdot 10^{-4}$ : il donne $3{,}1412 \leqslant \pi \leqslant 3{,}1421$, donc les trois premières décimales de $\pi$.

À retenir : cette intégrale, publiée par D. P. Dalzell en 1944, montre que l'approximation d'Archimède $\frac{22}{7}$ est un majorant de $\pi$, et l'écart est l'aire d'un domaine que l'on sait calculer exactement.