Exercice 8

1. Pour $t \in [0\,,1]$, on a $0 \leqslant t^{n} \leqslant 1$, donc $\frac{1}{1 + t^{n}} \leqslant 1$. D'autre part $(1 - t^{n})(1 + t^{n}) = 1 - t^{2n} \leqslant 1$, d'où $1 - t^{n} \leqslant \frac{1}{1 + t^{n}}$. Par croissance de l'intégrale (proposition 2 (iii)) : $$\int_{0}^{1} (1 - t^{n})\,\mathrm{d} t = 1 - \frac{1}{n + 1}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{1 - \frac{1}{n + 1} \leqslant \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t^{n}} \leqslant 1}.$$ Par encadrement, l'intégrale tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ : la fonction $t \mapsto \frac{1}{1 + t^{n}}$ vaut presque $1$ sur $[0\,,1[$ dès que $n$ est grand.

2. Pour la minoration, on compare à $t$ : $\frac{1 + t^{2}}{2} - t = \frac{(1 - t)^{2}}{2} \geqslant 0$, donc $\big(\frac{1 + t^{2}}{2}\big)^{n} \geqslant t^{n}$, d'intégrale $\frac{1}{n + 1}$. Pour la majoration, $t^{2} \leqslant t$ sur $[0\,,1]$, donc $\frac{1 + t^{2}}{2} \leqslant \frac{1 + t}{2}$, et l'on calcule avec la primitive $\frac{2}{n + 1}\big(\frac{1 + t}{2}\big)^{n + 1}$ : $$\int_{0}^{1} \Big(\frac{1 + t}{2}\Big)^{n}\mathrm{d} t = \frac{2}{n + 1}\Big(1 - \frac{1}{2^{n + 1}}\Big) \leqslant \frac{2}{n + 1}.$$

$$\boxed{\frac{1}{n + 1} \leqslant \int_{0}^{1} \Big(\frac{1 + t^{2}}{2}\Big)^{n}\mathrm{d} t \leqslant \frac{2}{n + 1}}$$ 3. Pour $x \in [\mathrm{e}\,,\pi]$, on a $\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$, avec égalité seulement en $\mathrm{e}$. La fonction $x \mapsto \frac{1}{\mathrm{e}} - \frac{1}{x}$ est continue, positive et non nulle sur $[\mathrm{e}\,,\pi]$ : son intégrale est strictement positive d'après l'exercice 5, question 1. $$\int_{\mathrm{e}}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{x} = \ln\pi - 1 < \frac{\pi - \mathrm{e}}{\mathrm{e}} = \frac{\pi}{\mathrm{e}} - 1.$$ On obtient $\ln\pi < \frac{\pi}{\mathrm{e}}$, soit $\mathrm{e}\ln\pi < \pi$, et l'on compose par la fonction $\exp$, strictement croissante. $$\boxed{\pi^{\mathrm{e}} < \mathrm{e}^{\pi}}$$ Numériquement, $\pi^{\mathrm{e}} \approx 22{,}46$ et $\mathrm{e}^{\pi} \approx 23{,}14$ : l'écart est faible, ce qui rend cette comparaison difficile à obtenir autrement.