Exercice 10

Chaque intégrande est une dérivée usuelle ou une dérivée composée (proposition 3).

(a) Une primitive est $x \mapsto x - \frac{1}{3}\sin(3x)$, et $\sin\pi = 0$. $$\int_{0}^{\pi/3} (1 - \cos 3x)\,\mathrm{d} x = \Big[x - \frac{\sin 3x}{3}\Big]_{0}^{\pi/3} = \boxed{\frac{\pi}{3}}$$ (b) C'est $\frac{1}{2}u'\sin u$ avec $u = x^{2}$. $$\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\sin(x^{2})\,\mathrm{d} x = \Big[-\frac{1}{2}\cos(x^{2})\Big]_{0}^{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \boxed{1}$$ (c) C'est $u'u^{1/2}$ avec $u = \ln$. $$\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{\ln x}}{x}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{2}{3}(\ln x)^{3/2}\Big]_{1}^{2} = \boxed{\frac{2}{3}(\ln 2)^{3/2}}$$ (d) C'est $-\frac{u'}{u}$ avec $u = \cos > 0$ sur $\big[0\,,\frac{\pi}{4}\big]$. $$\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,\mathrm{d} x = \big[-\ln\cos x\big]_{0}^{\pi/4} = -\ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \boxed{\frac{\ln 2}{2}}$$ (e) C'est $\frac{1}{2}\cdot\frac{u'}{1 + u^{2}}$ avec $u = x^{2}$. $$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{4}}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{1}{2}\operatorname{Arctan}(x^{2})\Big]_{0}^{1} = \boxed{\frac{\pi}{8}}$$ (f) C'est $\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + \mathrm{e}^{x}$. $$\int_{0}^{\ln 3} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d} x = \big[\ln(1 + \mathrm{e}^{x})\big]_{0}^{\ln 3} = \ln 4 - \ln 2 = \boxed{\ln 2}$$ (g) C'est $\frac{u'}{u}$ avec $u = \ln > 0$ sur $[\mathrm{e}\,,\mathrm{e}^{2}]$. $$\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\mathrm{d} x}{x\ln x} = \big[\ln(\ln x)\big]_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} = \ln 2 - \ln 1 = \boxed{\ln 2}$$ (h) C'est $u'u^{2}$ avec $u = \sin$. $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} x\cos x\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{\sin^{3} x}{3}\Big]_{0}^{\pi/2} = \boxed{\frac{1}{3}}$$