Exercice 23

1. Les premières valeurs se calculent directement, avec $\sin^{2} = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$ : $$\boxed{W_{0} = \frac{\pi}{2}, \qquad W_{1} = \big[-\cos t\big]_{0}^{\pi/2} = 1, \qquad W_{2} = \frac{\pi}{4}}$$ Le changement de variable $t = \frac{\pi}{2} - u$ échange les bornes, et $\sin\big(\frac{\pi}{2} - u\big) = \cos u$ : $$W_{n} = \int_{\pi/2}^{0} \cos^{n} u\,(-\mathrm{d} u) = \boxed{\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} u\,\mathrm{d} u}.$$ 2. Sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, on a $0 \leqslant \sin t \leqslant 1$, donc $\sin^{n+1} t \leqslant \sin^{n} t$, et $W_{n+1} \leqslant W_{n}$ par croissance de l'intégrale. De plus, $\sin^{n}$ est continue, positive et non nulle : l'exercice 5 donne $W_{n} > 0$. $$\boxed{(W_{n}) \text{ est décroissante, et } W_{n} > 0}$$ 3. On écrit $\sin^{n+2} t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$, on primitive $\sin t$ en $-\cos t$ et l'on dérive $\sin^{n+1} t$ : $$W_{n+2} = \big[-\cos t\sin^{n+1} t\big]_{0}^{\pi/2} + (n + 1)\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} t\,\sin^{n} t\,\mathrm{d} t = (n + 1)\big(W_{n} - W_{n+2}\big),$$ en remplaçant $\cos^{2} t$ par $1 - \sin^{2} t$. $$\boxed{(n + 2)\,W_{n+2} = (n + 1)\,W_{n}}$$ 4. Par récurrence sur $p$. Les formules sont vraies pour $p = 0$. Si elles le sont au rang $p$, la relation de la question 3 avec $n = 2p$ donne $$W_{2p+2} = \frac{2p + 1}{2p + 2}\,W_{2p} = \frac{(2p + 1)(2p + 2)}{(2p + 2)^{2}}\cdot\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{(2p + 2)!}{2^{2p+2}\big((p + 1)!\big)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2},$$ puisque $(2p + 2)^{2} = 4(p + 1)^{2}$ ; de même, avec $n = 2p + 1$, $$W_{2p+3} = \frac{2p + 2}{2p + 3}\,W_{2p+1} = \frac{(2p + 2)^{2}}{(2p + 2)(2p + 3)}\cdot\frac{2^{2p}(p!)^{2}}{(2p + 1)!} = \frac{2^{2p+2}\big((p + 1)!\big)^{2}}{(2p + 3)!}.$$

$$\boxed{W_{2p} = \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2} \qquad W_{2p+1} = \frac{2^{2p}(p!)^{2}}{(2p + 1)!}}$$ 5. En multipliant la relation de la question 3 par $W_{n+1}$, on obtient $$(n + 2)\,W_{n+2}W_{n+1} = (n + 1)\,W_{n+1}W_{n} :$$ la suite est constante, égale à son premier terme $1 \cdot W_{1}W_{0}$. $$\boxed{(n + 1)\,W_{n+1}W_{n} = \frac{\pi}{2}}$$ 6. La suite étant décroissante et strictement positive, $W_{n+2} \leqslant W_{n+1} \leqslant W_{n}$ ; en divisant par $W_{n} > 0$ et en utilisant la question 3 : $$\boxed{\frac{n + 1}{n + 2} = \frac{W_{n+2}}{W_{n}} \leqslant \frac{W_{n+1}}{W_{n}} \leqslant 1}$$ Lorsque $n$ est grand, le quotient $\frac{W_{n+1}}{W_{n}}$ est donc très proche de $1$ : $W_{n+1}$ et $W_{n}$ sont presque égaux, et la question 5 suggère alors $(n + 1)\,W_{n}^{2} \approx \frac{\pi}{2}$, soit $W_{n} \approx \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$. On pourra rendre ce raisonnement rigoureux lorsque les limites de suites auront été étudiées ; il conduit à la formule de Wallis et à celle de Stirling.