Exercice 22

1. Pour $x \in \,]-\pi\,,\pi[$, on a $\frac{x}{2} \in \big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$, donc $\cos\frac{x}{2} > 0$ et $\cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1}{1 + t^{2}}$. Les formules de duplication du chapitre 4 donnent alors $$\cos x = \cos^{2}\frac{x}{2}\Big(1 - \tan^{2}\frac{x}{2}\Big) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \qquad \sin x = 2\tan\frac{x}{2}\cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{2t}{1 + t^{2}}.$$ Enfin $x = 2\operatorname{Arctan} t$, donc $\mathrm{d} x = \dfrac{2\,\mathrm{d} t}{1 + t^{2}}$.

2. Première intégrale. L'expression $\frac{\mathrm{d} x}{\sin x}$ est inchangée quand on remplace $x$ par $-x$ : on pose $u = \cos x$, en écrivant $\frac{\mathrm{d} x}{\sin x} = \frac{\sin x\,\mathrm{d} x}{1 - \cos^{2} x}$. Quand $x$ va de $\frac{\pi}{3}$ à $\frac{\pi}{2}$, $u$ va de $\frac{1}{2}$ à $0$ : $$\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} x}{\sin x} = \int_{0}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{1 - u^{2}} = \Big[\frac{1}{2}\ln\frac{1 + u}{1 - u}\Big]_{0}^{1/2} = \boxed{\frac{\ln 3}{2}}.$$ Deuxième intégrale. Même invariance, et $u = \cos x$ va de $1$ à $-1$ : $$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{4 - \cos^{2} x}\,\mathrm{d} x = \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} u}{4 - u^{2}} = \Big[\frac{1}{4}\ln\frac{2 + u}{2 - u}\Big]_{-1}^{1} = \frac{1}{4}\Big(\ln 3 - \ln\frac{1}{3}\Big) = \boxed{\frac{\ln 3}{2}}.$$ Troisième intégrale. Aucune des trois symétries ne laisse $\frac{\mathrm{d} x}{2 + \cos x}$ invariante : on pose $t = \tan\frac{x}{2}$, qui va de $0$ à $1$. $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} x}{2 + \cos x} = \int_{0}^{1} \frac{2\,\mathrm{d} t}{2(1 + t^{2}) + 1 - t^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{2\,\mathrm{d} t}{3 + t^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{Arctan}\frac{1}{\sqrt{3}} = \boxed{\frac{\pi}{3\sqrt{3}}}$$ Quatrième intégrale. En remplaçant $x$ par $-x$, $\sin x + \tan x$ et $\mathrm{d} x$ changent tous deux de signe : on pose $u = \cos x$. On écrit $\sin x + \tan x = \frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\cos x}$, d'où $$\frac{\mathrm{d} x}{\sin x + \tan x} = \frac{\cos x\,\sin x\,\mathrm{d} x}{(1 - \cos^{2} x)(1 + \cos x)} = \frac{-u\,\mathrm{d} u}{(1 - u)(1 + u)^{2}}.$$ On décompose, comme à l'exercice 12 : $\frac{u}{(1 - u)(1 + u)^{2}} = \frac{1}{4(1 - u)} + \frac{1}{4(1 + u)} - \frac{1}{2(1 + u)^{2}}$. $$\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} x}{\sin x + \tan x} = \Big[\frac{1}{4}\ln\frac{1 + u}{1 - u} + \frac{1}{2(1 + u)}\Big]_{0}^{1/2} = \frac{\ln 3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \boxed{\frac{\ln 3}{4} - \frac{1}{6}}$$ Le résultat vaut environ $0{,}108$ : il est bien positif, comme l'intégrande.