Exercice 21

1. Le changement de variable $x = a + b - u$ échange $a$ et $b$, et $\mathrm{d} x = -\mathrm{d} u$ : $$J = \int_{a}^{b} x\,f(x)\,\mathrm{d} x = \int_{b}^{a} (a + b - u)\,f(a + b - u)\,(-\mathrm{d} u) = \int_{a}^{b} (a + b - u)\,f(u)\,\mathrm{d} u = (a + b)\int_{a}^{b} f - J.$$

$$\boxed{\int_{a}^{b} x\,f(x)\,\mathrm{d} x = \frac{a + b}{2}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d} x}$$ La courbe de $f$ est symétrique par rapport à la droite $x = \frac{a + b}{2}$ ; si $f \geqslant 0$, le domaine sous la courbe a son centre de gravité sur cette droite, et c'est ce qu'exprime l'égalité, le quotient $\int x f / \int f$ étant l'abscisse de ce centre de gravité.

2. Sur $[0\,,\pi]$, les fonctions $x \mapsto \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x}$ et $x \mapsto \frac{1}{1 + \sin x}$ sont inchangées quand on remplace $x$ par $\pi - x$, puisque $\sin(\pi - x) = \sin x$ et $\cos^{2}(\pi - x) = \cos^{2} x$. La première intégrale se ramène à l'exercice 18 (b) : $$\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^{2} x}\,\mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x}\,\mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{\pi^{2}}{4}}.$$ Pour la seconde, la symétrie par rapport à $\frac{\pi}{2}$ donne $\int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1 + \sin x} = 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} x}{1 + \sin x}$, puis $x = \frac{\pi}{2} - u$ et $1 + \cos u = 2\cos^{2}\frac{u}{2}$ donnent $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} u}{1 + \cos u} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} u}{2\cos^{2}(u/2)} = \Big[\tan\frac{u}{2}\Big]_{0}^{\pi/2} = 1, \qquad\text{d'où}\qquad \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \sin x}\,\mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}\cdot 2 = \boxed{\pi}.$$ 3. Le changement de variable $t = \frac{\pi}{2} - u$ échange $\cos$ et $\sin$ et laisse le dénominateur inchangé : les deux intégrales $A$ et $B$ sont égales. Leur somme vaut $\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{d} t = \frac{\pi}{2}$. $$\boxed{A = B = \frac{\pi}{4}}$$ Enfin, le changement de variable $t = \sin\theta$, $\theta \in \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, donne $\sqrt{1 - t^{2}} = \cos\theta$ et $\mathrm{d} t = \cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ : $$\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1 - t^{2}} + t} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta}\,\mathrm{d}\theta = \boxed{\frac{\pi}{4}}.$$

À retenir : une symétrie de l'intervalle permet de calculer des intégrales dont on ne connaît aucune primitive explicite, comme $\int \frac{x\sin x}{1 + \cos^{2} x}$ ; on retrouvera cette idée dans l'exercice suivant.