Exercice 20

Pour chaque intégrale, on indique la méthode et l'indice qui y conduit, puis le calcul.

(a) Dérivée composée : le facteur $x$ est, à $\frac{1}{2}$ près, la dérivée de l'exposant $x^{2}$. $$\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{2}\Big]_{0}^{1} = \boxed{\frac{\mathrm{e} - 1}{2}}$$ (b) Intégration par parties : l'exposant est $x$, dont la dérivée $1$ n'apporte pas le facteur $x$ ; on dérive le polynôme. $$\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d} x = \big[x\,\mathrm{e}^{x}\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d} x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = \boxed{1}$$ (c) Dérivée composée : $\frac{1}{x}$ est la dérivée de $\ln x$. $$\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{\mathrm{e}} = \boxed{\frac{1}{2}}$$ (d) Intégration par parties : $x$ n'est pas la dérivée de $\ln x$ ; on dérive $\ln$, on primitive $x$. $$\int_{1}^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{x^{2}}{2}\ln x\Big]_{1}^{\mathrm{e}} - \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{x}{2}\,\mathrm{d} x = \frac{\mathrm{e}^{2}}{2} - \frac{\mathrm{e}^{2} - 1}{4} = \boxed{\frac{\mathrm{e}^{2} + 1}{4}}$$ (e) Dérivée composée : le numérateur est la moitié de la dérivée du dénominateur. $$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})\Big]_{0}^{1} = \boxed{\frac{\ln 2}{2}}$$ (f) Décomposition : numérateur et dénominateur ont le même degré, on divise d'abord. $$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \Big(1 - \frac{1}{1 + x^{2}}\Big)\mathrm{d} x = \boxed{1 - \frac{\pi}{4}}$$ (g) Intégration par parties : on dérive $\operatorname{Arctan}$, qui devient rationnelle, et l'on primitive $x$ en $\frac{1 + x^{2}}{2}$. $$\int_{0}^{1} x\operatorname{Arctan} x\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{1 + x^{2}}{2}\operatorname{Arctan} x\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{2} = \boxed{\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}}$$ (h) Intégration par parties en primitivant $1$ : une fonction seule, dont la dérivée est rationnelle. On choisit la primitive $1 + x$ de $1$. $$\int_{0}^{1} \ln(1 + x)\,\mathrm{d} x = \big[(1 + x)\ln(1 + x)\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \mathrm{d} x = \boxed{2\ln 2 - 1}$$ (i) Intégration par parties en primitivant $1$, puis l'exemple du cours pour $\int \ln$. $$\int_{1}^{\mathrm{e}} (\ln x)^{2}\,\mathrm{d} x = \big[x(\ln x)^{2}\big]_{1}^{\mathrm{e}} - 2\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d} x = \mathrm{e} - 2\big[x\ln x - x\big]_{1}^{\mathrm{e}} = \boxed{\mathrm{e} - 2}$$ (j) Changement de variable $x = \sin\theta$, plutôt qu'une intégration par parties directe, puisque $\operatorname{Arcsin}$ n'est pas dérivable en $1$ (voir l'exercice 15 (f)). $$\int_{0}^{1} \operatorname{Arcsin} x\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi/2} \theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \big[\theta\sin\theta + \cos\theta\big]_{0}^{\pi/2} = \boxed{\frac{\pi}{2} - 1}$$ (k) Dérivée composée : une puissance impaire de $\sin$ ; on isole un $\sin x$ et l'on écrit $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$. $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} x\,\mathrm{d} x = \Big[-\cos x + \frac{\cos^{3} x}{3}\Big]_{0}^{\pi/2} = 1 - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{2}{3}}$$ (l) Intégration par parties : un polynôme multiplié par un cosinus. $$\int_{0}^{\pi} x\cos x\,\mathrm{d} x = \big[x\sin x\big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x\,\mathrm{d} x = \boxed{-2}$$ (m) Changement de variable $x = u^{2}$, pour faire disparaître la racine, puis intégration par parties. $$\int_{0}^{\pi^{2}/4} \sin\sqrt{x}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi/2} 2u\sin u\,\mathrm{d} u = 2\big[\sin u - u\cos u\big]_{0}^{\pi/2} = \boxed{2}$$ (n) Changement de variable $x = u^{2}$, puis décomposition, comme à l'exercice 18 (e). $$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \frac{2u^{2}}{1 + u^{2}}\,\mathrm{d} u = \boxed{2 - \frac{\pi}{2}}$$ (o) Changement de variable $x = u^{2}$ : $x + \sqrt{x} = u(u + 1)$ et $\mathrm{d} x = 2u\,\mathrm{d} u$. $$\int_{1}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{x + \sqrt{x}} = \int_{1}^{2} \frac{2\,\mathrm{d} u}{u + 1} = 2\ln\frac{3}{2} = \boxed{\ln\frac{9}{4}}$$ (p) Décomposition : $\frac{1}{x(1 + x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x}$. $$\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x(1 + x)} = \Big[\ln\frac{x}{1 + x}\Big]_{1}^{2} = \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \boxed{\ln\frac{4}{3}}$$ (q) Dérivée composée : la forme $u'u^{-2}$ avec $u = 1 + \mathrm{e}^{x}$. $$\int_{0}^{\ln 2} \frac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + \mathrm{e}^{x})^{2}}\,\mathrm{d} x = \Big[-\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{x}}\Big]_{0}^{\ln 2} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{6}}$$ (r) Dérivée usuelle, après avoir écrit $\tan^{2} x = (1 + \tan^{2} x) - 1$. $$\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2} x\,\mathrm{d} x = \big[\tan x - x\big]_{0}^{\pi/4} = \boxed{1 - \frac{\pi}{4}}$$ (s) Exponentielle complexe : le produit d'une exponentielle et d'un sinus. $$\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{e}^{x}\sin x\,\mathrm{d} x = \Big[\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}(\sin x - \cos x)\Big]_{0}^{\pi/2} = \boxed{\frac{\mathrm{e}^{\pi/2} + 1}{2}}$$ (t) Changement de variable $u = 1 - x^{2}$ : on écrit $x^{3} = x^{2}\cdot x$, où $x\,\mathrm{d} x = -\frac{\mathrm{d} u}{2}$ et $x^{2} = 1 - u$. $$\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1 - x^{2}}\,\mathrm{d} x = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1 - u)\sqrt{u}\,\mathrm{d} u = \frac{1}{2}\Big(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\Big) = \boxed{\frac{2}{15}}$$ (u) Parité : l'intervalle est symétrique et l'intégrande est impaire, comme produit de la fonction impaire $x^{5}$ et des fonctions paires $\cos$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ ; aucun calcul de primitive n'est nécessaire (proposition 6). $$\boxed{\int_{-1}^{1} \frac{x^{5}\cos x}{1 + x^{2}}\,\mathrm{d} x = 0}$$

En résumé, les intégrales se regroupent ainsi :

• dérivées composées (a), (c), (e), (k), (q), et dérivée usuelle (r) : l'intégrande contient un facteur qui est la dérivée d'une fonction apparaissant ailleurs ;

• intégrations par parties (b), (d), (g), (h), (i), (l) : un produit dont un facteur se simplifie en le dérivant ($x$, $\ln$, $\operatorname{Arctan}$), ou une fonction seule dont la dérivée est plus simple ;

• changements de variable (j), (m), (n), (o), (t) : une racine, ou une fonction réciproque non dérivable au bord ;

• décompositions (f), (p) ; exponentielle complexe (s) ; parité (u).

Les couples (a)--(b), (c)--(d) et (e)--(f) montrent qu'un changement minime de l'intégrande, ici la place d'un $x$ ou d'un carré, fait disparaître le facteur « dérivée de » et oblige à changer de méthode.