Exercice 19

Pour obtenir une primitive, on effectue le changement de variable dans $\int_{x_{0}}^{x} f$, puis l'on revient à la variable $x$. On donne chaque fois l'intervalle de travail.

(a) $\frac{1}{\operatorname{ch} x} = \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x} + 1}$ ; avec $u = \mathrm{e}^{x}$, $\mathrm{d} u = \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d} x$, on obtient $\int \frac{2\,\mathrm{d} u}{1 + u^{2}}$. Sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{x \mapsto 2\operatorname{Arctan}(\mathrm{e}^{x})}$$ (b) Avec $u = \mathrm{e}^{x}$, $\mathrm{d} x = \frac{\mathrm{d} u}{u}$, on obtient $\int \frac{\mathrm{d} u}{u(u + 1)} = \ln\frac{u}{u + 1}$. Sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{x \mapsto x - \ln(1 + \mathrm{e}^{x})}$$ (c) Avec $u = \ln x$, $\mathrm{d} u = \frac{\mathrm{d} x}{x}$, on obtient $\int \frac{\mathrm{d} u}{1 + u^{2}}$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $$\boxed{x \mapsto \operatorname{Arctan}(\ln x)}$$ (d) Avec $x = u^{2}$, $u \geqslant 0$, on obtient $\int 2u\cos u\,\mathrm{d} u = 2(u\sin u + \cos u)$ par parties. Sur $[0\,,+\infty[$ : $$\boxed{x \mapsto 2\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x}}$$ (e) Avec $x = \sin t$, $t \in \big[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big]$, on a $\sqrt{1 - x^{2}} = \cos t$ et $\int \cos^{2} t\,\mathrm{d} t = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} = \frac{t + \sin t\cos t}{2}$. Sur $[-1\,,1]$ : $$\boxed{x \mapsto \frac{1}{2}\big(\operatorname{Arcsin} x + x\sqrt{1 - x^{2}}\big)}$$ (f) Avec $x = \operatorname{sh} t$, on a $\sqrt{x^{2} + 1} = \operatorname{ch} t$ et $\mathrm{d} x = \operatorname{ch} t\,\mathrm{d} t$, d'où $\int \mathrm{d} t = t$. Il reste à exprimer $t$ en fonction de $x$ : $\mathrm{e}^{t} - \mathrm{e}^{-t} = 2x$ donne $\mathrm{e}^{2t} - 2x\,\mathrm{e}^{t} - 1 = 0$, et la racine positive de ce trinôme en $\mathrm{e}^{t}$ est $x + \sqrt{x^{2} + 1}$. Sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{x \mapsto \ln\big(x + \sqrt{x^{2} + 1}\big)}$$ (g) Avec $x = \mathrm{e}^{u}$, on obtient $\int \mathrm{e}^{u}\cos(2u)\,\mathrm{d} u = \operatorname{Re}\frac{\mathrm{e}^{(1 + 2\mathrm{i})u}}{1 + 2\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{e}^{u}}{5}\big(\cos(2u) + 2\sin(2u)\big)$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $$\boxed{x \mapsto \frac{x}{5}\big(\cos(2\ln x) + 2\sin(2\ln x)\big)}$$ (h) On pose $u = \sqrt{\mathrm{e}^{x} - 1}$, de sorte que $\mathrm{e}^{x} = 1 + u^{2}$ et $\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d} x = 2u\,\mathrm{d} u$ : $$\int \frac{2u\,\mathrm{d} u}{(4 + u^{2})\,u} = \int \frac{2\,\mathrm{d} u}{4 + u^{2}} = \operatorname{Arctan}\frac{u}{2}.$$ Sur $]0\,,+\infty[$, on obtient donc : $$\boxed{x \mapsto \operatorname{Arctan}\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x} - 1}}{2}}$$

À retenir : en (e), on reconnaît dans la primitive l'aire d'un secteur et d'un triangle ; c'est le calcul de l'aire du quart de disque du cours, mené avec une borne variable.