Exercice 6

1. Soit $F(x) = \int_{0}^{x} f$ ; les primitives de $f$ sont les $F + c$, et chacune est $T$-périodique si et seulement si $F$ l'est. Or, d'après la proposition 6 (ii), pour tout réel $x$ : $$F(x + T) - F(x) = \int_{x}^{x + T} f = \int_{0}^{T} f.$$

$$\boxed{f \text{ admet une primitive } T\text{-périodique} \iff \int_{0}^{T} f = 0}$$ La fonction $x \mapsto \cos^{2} x$ est $\pi$-périodique et $\int_{0}^{\pi} \cos^{2} x\,\mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} \neq 0$ ; ses primitives ne sont pas $\pi$-périodiques. Elles ne sont pas davantage $T$-périodiques pour un autre $T > 0$ : ce sont les fonctions $x \mapsto \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + c$, qui tendent vers $+\infty$ en $+\infty$, alors qu'une fonction périodique continue est bornée, puisqu'elle reprend sur $\mathbb{R}$ les valeurs qu'elle prend sur une période. $$\boxed{\text{non : les primitives de } \cos^{2} \text{ sont } x \mapsto \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + c}$$ 2. Avec la même primitive $F$, la fonction $G : x \mapsto F(x + T) - F(x)$ est constante, donc sa dérivée est nulle : $$G'(x) = f(x + T) - f(x) = 0, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{f \text{ est } T\text{-périodique}}.$$