Exercice 5

1. Soit $F(x) = \int_{a}^{x} f$, la primitive de $f$ nulle en $a$. Comme $F' = f \geqslant 0$, la fonction $F$ est croissante sur $[a\,,b]$ (chapitre 5). Or $F(a) = 0$ et $F(b) = \int_{a}^{b} f = 0$ : pour tout $x \in [a\,,b]$, $0 = F(a) \leqslant F(x) \leqslant F(b) = 0$. Ainsi $F$ est nulle, et $f = F'$ aussi. $$\boxed{f \geqslant 0 \text{ continue et } \int_{a}^{b} f = 0 \implies f = 0}$$ 2. L'égalité s'écrit $\int_{a}^{b} \big(|f| - f\big) = 0$, où $|f| - f$ est continue et positive. D'après la question 1, $|f| = f$, c'est-à-dire $f \geqslant 0$ ; réciproquement, toute fonction positive convient. $$\boxed{\text{les fonctions continues positives sur } [a\,,b]}$$ 3. La fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est nulle par hypothèse, donc sa dérivée $f$ aussi. $$\boxed{f = 0}$$ 4. La fonction $f^{2}$ est continue et positive, d'intégrale nulle : la question 1 donne $f^{2} = 0$, donc $\boxed{f = 0}$. La conclusion tombe sans le carré : sur $[a\,,b]$, la fonction $x \mapsto x - \frac{a + b}{2}$ a une intégrale nulle, comme on le vérifie avec la primitive $\frac{1}{2}\big(x - \frac{a + b}{2}\big)^{2}$, qui prend la même valeur en $a$ et en $b$, sans être nulle. $$\boxed{\text{non : } \int_{a}^{b} \Big(x - \frac{a + b}{2}\Big)\,\mathrm{d} x = 0}$$

À retenir : la question 1 est l'outil qui rend strictes les inégalités entre intégrales ; on l'utilise à l'exercice 8 et à l'exercice 9.