Exercice 4

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, qui existe d'après le théorème 1 ; elle est dérivable, de dérivée $f$. Toutes les intégrales s'expriment à l'aide de $F$, et l'on dérive des composées.

(a) On a $G_{1}(x) = F(x^{2}) - F(0)$, composée de fonctions dérivables, d'où : $$\boxed{G_{1}'(x) = 2x\,f(x^{2})}$$ (b) On a $G_{2}(x) = F(2x) - F(x)$, d'où : $$\boxed{G_{2}'(x) = 2f(2x) - f(x)}$$ (c) À $x$ fixé, le changement de variable $u = t + x$ donne $G_{3}(x) = \displaystyle\int_{x}^{2x} f(u)\,\mathrm{d} u = G_{2}(x)$, d'où : $$\boxed{G_{3}'(x) = 2f(2x) - f(x)}$$ (d) La variable d'intégration est $t$ : le facteur $x$ sort de l'intégrale, ce qui donne $$G_{4}(x) = x\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t - \int_{0}^{x} t\,f(t)\,\mathrm{d} t.$$ Les deux intégrales sont des primitives de $f$ et de $t \mapsto t\,f(t)$, qui s'annulent en $0$ (proposition 2 (i)). Par la dérivée d'un produit : $$G_{4}'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t + x\,f(x) - x\,f(x), \qquad\text{soit}\qquad \boxed{G_{4}'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t}.$$ Ainsi $G_{4}$ est la primitive nulle en $0$ de la primitive nulle en $0$ de $f$ : c'est une « primitive seconde » de $f$.

Piège : on ne peut pas dériver directement $\int_{0}^{x} (x - t)\,f(t)\,\mathrm{d} t$ en remplaçant $t$ par $x$ dans l'intégrande, ce qui donnerait $0$ : la variable $x$ figure aussi dans l'intégrande, et il faut d'abord l'en faire sortir.