Exercice 3

1. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ est strictement positive : si son intégrale sur $[-1\,,1]$ avait un sens, elle serait positive d'après la proposition 2 (iii), et non égale à $-2$. L'erreur est d'appliquer la définition de l'intégrale à une fonction qui n'est pas continue sur $[-1\,,1]$ : elle n'est même pas définie en $0$, et $x \mapsto -\frac{1}{x}$ n'est une primitive que sur $]-\infty\,,0[$ et sur $]0\,,+\infty[$, pas sur un intervalle contenant $-1$ et $1$. $$\boxed{\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}} \text{ n'est pas définie : } [-1\,,1] \text{ contient } 0}$$

2. Soit $F$ une primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^{*}$. Sur l'intervalle $]0\,,+\infty[$, $F$ et $\ln|\cdot|$ ont la même dérivée : elles diffèrent d'une constante $c_{1}$ (proposition 1). Il en est de même sur $]-\infty\,,0[$, avec une constante $c_{2}$ qui n'a aucune raison d'être égale à $c_{1}$. Réciproquement, toute fonction de cette forme convient. $$\boxed{F(x) = \begin{cases} \ln|x| + c_{2} & \text{si } x < 0 \\ \ln x + c_{1} & \text{si } x > 0 \end{cases}, \qquad (c_{1}, c_{2}) \in \mathbb{R}^{2}}$$ Il faut donc deux constantes, une par intervalle : c'est la remarque du cours sur l'hypothèse « $I$ est un intervalle ».

3. On décompose, comme dans la méthode du cours avec $x_{1} = 1$ et $x_{2} = -1$ : $$\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\Big), \qquad\text{de primitive}\qquad \frac{1}{2}\ln\Big|\frac{x - 1}{x + 1}\Big|.$$ Sur $]-1\,,1[$, on a $\big|\frac{x - 1}{x + 1}\big| = \frac{1 - x}{1 + x}$, et cette primitive vaut $\frac{1}{2}\ln 1 = 0$ en $0$. $$\boxed{x \mapsto \frac{1}{2}\ln\frac{1 - x}{1 + x}}$$ L'ensemble $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ est la réunion des trois intervalles $]-\infty\,,-1[$, $]-1\,,1[$ et $]1\,,+\infty[$ ; le raisonnement de la question 2 donne une constante par intervalle. $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2}\ln\Big|\frac{x - 1}{x + 1}\Big| + c_{k} \ \text{ sur le } k\text{-ième intervalle}, \qquad (c_{1}, c_{2}, c_{3}) \in \mathbb{R}^{3}}$$