Exercice 2

Dans chaque cas, on repère une fonction $u$ dont la dérivée apparaît en facteur, et l'on applique la proposition 3 du cours.

• (a) $\frac{1}{2}\cdot\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + x^{2}$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})}$

• (b) $\frac{1}{3}\cdot\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + \mathrm{e}^{3x} > 0$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{3}\ln(1 + \mathrm{e}^{3x})}$

• (c) $u'u$ avec $u = \ln$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto \frac{(\ln x)^{2}}{2}}$

• (d) $u'u^{2}$ avec $u = \sin$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{\sin^{3} x}{3}}$

• (e) $\frac{u'}{u}$ avec $u = \ln$, qui ne s'annule pas sur $]1\,,+\infty[$. Sur cet intervalle : $\boxed{x \mapsto \ln(\ln x)}$

• (f) $\frac{3}{2}u'u^{1/2}$ avec $u = 1 + x^{2}$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto (1 + x^{2})^{3/2}}$

• (g) $-\frac{u'}{1 + u^{2}}$ avec $u = \cos$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto -\operatorname{Arctan}(\cos x)}$

• (h) $u'\cos u$ avec $u = \ln$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto \sin(\ln x)}$

• (i) $-u'u^{-3}$ avec $u = \cos$. Sur $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{2\cos^{2} x}}$

• (j) $-\frac{1}{2}u'u^{1/2}$ avec $u = 1 - x^{2}$. Sur $]-1\,,1[$ : $\boxed{x \mapsto -\frac{1}{3}(1 - x^{2})^{3/2}}$

• (k) $u'u^{-4}$ avec $u = \ln$. Sur $]1\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto -\frac{1}{3(\ln x)^{3}}}$

• (l) $\frac{1}{3}\cdot\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + x^{3}$. Sur $]-1\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{3}\ln(1 + x^{3})}$

• (m) $-\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + \cos^{2} x$, car $u'(x) = -\sin(2x)$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto -\ln(1 + \cos^{2} x)}$

• (n) On factorise $\sqrt{x}$ : $\frac{1}{\sqrt{x} + x} = 2\cdot\frac{u'}{u}$ avec $u = 1 + \sqrt{x}$, $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto 2\ln(1 + \sqrt{x})}$

• (o) $\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x} + x} = \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}$ est de la forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u = \exp$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x}}}$

• (p) $2\cdot\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u = 1 + \ln x > 0$. Sur $\big]\frac{1}{\mathrm{e}}\,,+\infty\big[$ : $\boxed{x \mapsto 2\sqrt{1 + \ln x}}$

• (q) $\frac{1}{2}u'u^{3}$ avec $u = 3x^{2} - 2x + 3$, puisque $u' = 2(3x - 1)$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{8}(3x^{2} - 2x + 3)^{4}}$

• (r) $\frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ avec $u = \exp$, qui vérifie $|u| < 1$ sur $]-\infty\,,0[$. Sur cet intervalle : $\boxed{x \mapsto \operatorname{Arcsin}(\mathrm{e}^{x})}$

À retenir : les expressions (b), (g), (n) et (r) se traiteront aussi par changement de variable (exercices 18 et 19) ; reconnaître la forme $u'\,g(u)$ est le même calcul, mené sans changer de lettre.