Exercice 1

On lit le tableau des primitives usuelles du cours de droite à gauche ; pour une fonction de la forme $x \mapsto g(ax + b)$, avec $a \neq 0$, une primitive est $x \mapsto \frac{1}{a}G(ax + b)$, où $G$ est une primitive de $g$. Chaque résultat se vérifie en dérivant.

• (a) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{5}{4}x^{4} - \frac{3}{2}x^{2} + 7x}$

• (b) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto 2\sin x + 3\cos x}$

• (c) On écrit $\frac{5}{\sqrt{x}} = 5x^{-1/2}$ et $\frac{2}{x^{3}} = 2x^{-3}$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto 10\sqrt{x} + 4\ln x - \frac{1}{x^{2}}}$

• (d) On sépare la fraction : $\frac{x + 5}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}$. Sur $]0\,,+\infty[$ : $\boxed{x \mapsto \ln x - \frac{5}{x}}$

• (e) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{4}\mathrm{e}^{4x + 3}}$

• (f) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{3}\sin\Big(3x + \frac{\pi}{3}\Big)}$

• (g) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{(2x + 1)^{6}}{12}}$

• (h) On écrit $3(5x + 1)^{-1/2}$, de primitive $\frac{3}{5}\cdot 2(5x + 1)^{1/2}$. Sur $\big]-\frac{1}{5}\,,+\infty\big[$ : $\boxed{x \mapsto \frac{6}{5}\sqrt{5x + 1}}$

• (i) On factorise $9$ : $\frac{1}{x^{2} + 9} = \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1 + (x/3)^{2}}$. Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{3}\operatorname{Arctan}\frac{x}{3}}$

• (j) De même $\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - (x/2)^{2}}}$. Sur $]-2\,,2[$ : $\boxed{x \mapsto \operatorname{Arcsin}\frac{x}{2}}$

• (k) Sur $\mathbb{R}$ : $\boxed{x \mapsto \frac{1}{2}\operatorname{sh}(2x) + 3\operatorname{ch}\frac{x}{3}}$

• (l) On écrit $\tan^{2} x = (1 + \tan^{2} x) - 1$. Sur $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$ : $\boxed{x \mapsto \tan x - x}$

Piège : en (i) et (j), on oublie souvent le facteur issu de la factorisation. Dériver le résultat le fait apparaître aussitôt : la dérivée de $\operatorname{Arctan}\frac{x}{3}$ est $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1 + x^{2}/9} = \frac{3}{x^{2} + 9}$, d'où le coefficient $\frac{1}{3}$.