Exercice 52

1. Pour $m \neq 0$, la fonction $\theta \mapsto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\theta}}{\mathrm{i} m}$ est une primitive de $\theta \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} m\theta}$ (tableau des primitives usuelles, avec $\lambda = \mathrm{i} m \in \mathbb{C}^{*}$), et elle prend la même valeur en $0$ et en $2\pi$, puisque $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} m\pi} = 1$. Pour $m = 0$, on intègre la constante $1$. $$\boxed{\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} m\theta}\,\mathrm{d}\theta = 2\pi \text{ si } m = 0, \qquad \int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} m\theta}\,\mathrm{d}\theta = 0 \text{ si } m \neq 0}$$ 2. On développe, pour tout réel $\theta$ : $$P(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\theta} = \sum_{j=0}^{n} a_{j}r^{j}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(j - k)\theta}.$$ Par linéarité (proposition 2 (ii)) et d'après la question 1, seul le terme d'indice $j = k$ a une intégrale non nulle, égale à $2\pi\,a_{k}r^{k}$. $$\boxed{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} P(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\theta}\,\mathrm{d}\theta = a_{k}r^{k}}$$ Pour $k = 0$, l'égalité s'écrit $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} P(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\,\mathrm{d}\theta = a_{0} = P(0)$ : la valeur de $P$ au centre d'un cercle est la moyenne de ses valeurs sur ce cercle, quel que soit le rayon. Par exemple, pour $P(z) = z^{2}$, les valeurs $r^{2}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}$ décrivent deux fois un cercle centré en $0$, et leur moyenne est bien $0 = P(0)$.

3. Pour $\theta$ réel, le conjugué de $P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$ est $\sum_{l=0}^{n} \overline{a_{l}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} l\theta}$, puisque $\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$. Le module au carré est donc une somme double : $$\big|P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\big|^{2} = P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\,\overline{P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})} = \sum_{k=0}^{n}\sum_{l=0}^{n} a_{k}\overline{a_{l}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k - l)\theta}.$$ D'après la question 1, seuls les termes tels que $k = l$ ont une intégrale non nulle, et celle du terme d'indice $(k, k)$ vaut $2\pi\,|a_{k}|^{2}$. $$\boxed{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \big|P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\big|^{2}\,\mathrm{d}\theta = \sum_{k=0}^{n} |a_{k}|^{2}}$$ 4. La fonction $\theta \mapsto |P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|^{2}$ est réelle, continue, et majorée par $M^{2}$ ; par croissance de l'intégrale, la question 3 donne $\sum_{k=0}^{n} |a_{k}|^{2} \leqslant M^{2}$, et chaque terme de cette somme de réels positifs est inférieur à la somme. $$\boxed{|a_{k}| \leqslant M \text{ pour tout } k \in [\![0\,;n]\!]}$$ Supposons maintenant $n \geqslant 1$ et $a_{n} = 1$, et raisonnons par l'absurde : si $|P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|^{2} < 1 + |a_{0}|^{2}$ pour tout réel $\theta$, la fonction $\theta \mapsto 1 + |a_{0}|^{2} - |P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})|^{2}$ est continue, positive et non nulle sur $[0\,,2\pi]$, et son intégrale est strictement positive (exercice 5). La question 3 donnerait alors $$\sum_{k=0}^{n} |a_{k}|^{2} < 1 + |a_{0}|^{2},$$ alors que cette somme contient les deux termes distincts $|a_{0}|^{2}$ et $|a_{n}|^{2} = 1$. $$\boxed{\text{il existe } \theta \in \mathbb{R} \text{ tel que } \big|P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\big|^{2} \geqslant 1 + |a_{0}|^{2}}$$ Ainsi, une fonction polynomiale de coefficient dominant $1$ ne peut pas être uniformément petite sur le cercle unité : son module y atteint au moins $1$. L'exemple $P(z) = z^{n}$, de module constant égal à $1$ sur le cercle, montre que cette borne est la meilleure possible. Sur le segment $[-1\,,1]$, la situation est différente : $x \mapsto x^{2} - \frac{1}{2}$ y est majorée par $\frac{1}{2}$ en valeur absolue.

5. La formule du binôme du chapitre 3 donne $(1 + z)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}z^{k}$, donc $a_{k} = \binom{n}{k}$. Par la technique de l'angle moitié du chapitre 4, $$1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}\big) = 2\cos\frac{\theta}{2}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}, \qquad\text{donc}\qquad \big|P(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})\big|^{2} = 4^{n}\cos^{2n}\frac{\theta}{2}.$$ La question 3, puis le changement de variable $\theta = 2u$, donnent $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2} = \frac{4^{n}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos^{2n}\frac{\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{4^{n}}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos^{2n}u\,\mathrm{d} u.$$ Sur $\big[\frac{\pi}{2}\,,\pi\big]$, le changement de variable $u = \pi - v$ et l'égalité $\cos^{2n}(\pi - v) = \cos^{2n} v$ montrent que la seconde moitié de l'intégrale est égale à la première ; d'après l'exercice 23, question 1, on a donc $\int_{0}^{\pi} \cos^{2n}u\,\mathrm{d} u = 2W_{2n}$. La formule de $W_{2n}$ (exercice 23, question 4) donne enfin $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2} = \frac{2 \cdot 4^{n}}{\pi}\,W_{2n} = \frac{2 \cdot 4^{n}}{\pi}\cdot\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.$$

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2} = \binom{2n}{n}}$$ Pour $n = 2$, on vérifie que $1 + 4 + 1 = 6 = \binom{4}{2}$. ✓ Cette identité de dénombrement, que la formule de Vandermonde de la feuille du chapitre 3 établit en comptant des parties, sort ici d'un calcul d'intégrales où le nombre $\pi$ apparaît puis disparaît.

À retenir : la question 1 dit que les fonctions $\theta \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} k\theta}$ se comportent, pour l'intégrale sur une période, comme une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux ; les questions 2 et 3 en sont les conséquences, comme le calcul des coordonnées et du carré de la norme d'un vecteur dans une base orthonormée. Le chapitre 19, consacré aux espaces préhilbertiens, donnera un sens précis à cette analogie.