Exercice 53

1. Les fonctions $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{1}'$ et $y_{2}'$ sont dérivables, et $y_{2}$ ne s'annule pas sur $[a\,,b]$ ; par les règles de dérivation des sommes, produits et quotients du chapitre 5, la fonction $$\varphi = y_{1}y_{1}' - \frac{y_{1}^{2}\,y_{2}'}{y_{2}}$$ est dérivable sur $[a\,,b]$. On dérive chaque terme : $$\varphi' = y_{1}'^{2} + y_{1}y_{1}'' - \frac{2y_{1}y_{1}'y_{2}'}{y_{2}} - \frac{y_{1}^{2}\,y_{2}''}{y_{2}} + \frac{y_{1}^{2}\,y_{2}'^{2}}{y_{2}^{2}}.$$ On remplace $y_{1}''$ par $-q_{1}y_{1}$ et $y_{2}''$ par $-q_{2}y_{2}$ ; les termes restants forment le carré $\big(y_{1}' - \frac{y_{1}y_{2}'}{y_{2}}\big)^{2}$. $$\boxed{\varphi' = (q_{2} - q_{1})\,y_{1}^{2} + \Big(y_{1}' - \frac{y_{1}y_{2}'}{y_{2}}\Big)^{2}}$$ 2. Les deux termes de $\varphi'$ sont positifs, puisque $q_{2} - q_{1} > 0$ : la fonction $\varphi$ est croissante sur le segment $[a\,,b]$ (théorème 1 du chapitre 5). Elle contient le facteur $y_{1}$, donc $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$, et pour tout $x \in [a\,,b]$, $0 = \varphi(a) \leqslant \varphi(x) \leqslant \varphi(b) = 0$. Ainsi $\varphi$ est nulle sur $[a\,,b]$, et sa dérivée aussi. Une somme de deux réels positifs n'est nulle que si chacun l'est : $(q_{2} - q_{1})\,y_{1}^{2} = 0$ sur $[a\,,b]$, et comme $q_{2} - q_{1}$ ne s'annule pas, $y_{1}$ est nulle sur $[a\,,b]$, contrairement à l'hypothèse. $$\boxed{y_{2} \text{ s'annule en au moins un point de } [a\,,b]}$$ Le raisonnement est celui de l'exercice 5 : une fonction croissante qui prend la même valeur aux deux extrémités d'un segment y est constante.

3.(a) Soit $[c\,,c + \frac{\pi}{\omega}]$ un segment de longueur $\frac{\pi}{\omega}$. La fonction $y_{1} : x \mapsto \sin\big(\omega(x - c)\big)$ est solution de $y'' + \omega^{2}y = 0$, et l'on a $q_{1} = \omega^{2} < q$ ; elle s'annule en $c$ et en $c + \frac{\pi}{\omega}$, et vaut $1$ au milieu de ce segment. La question 2, avec $q_{2} = q$ et $y_{2} = y$, donne : $$\boxed{y \text{ s'annule sur tout segment de longueur } \frac{\pi}{\omega}}$$ (b) La fonction $y_{2}$ proposée est solution de $y'' + \omega^{2}y = 0$, et $q < \omega^{2}$ ; on applique la question 2 avec $y_{1} = y$, $q_{1} = q$ et $q_{2} = \omega^{2}$. Si l'on avait $b - a < \frac{\pi}{\omega}$, on aurait, pour tout $x \in [a\,,b]$, $$\Big|\omega\Big(x - \frac{a + b}{2}\Big)\Big| \leqslant \frac{\omega(b - a)}{2} < \frac{\pi}{2},$$ donc $y_{2}(x) > 0$ : la fonction $y_{2}$ ne s'annulerait pas sur $[a\,,b]$, ce que la question 2 interdit. $$\boxed{b - a \geqslant \frac{\pi}{\omega}}$$ 4. Ici $q(x) = 2 + \cos x$ vérifie $1 \leqslant q(x) \leqslant 3$ pour tout réel $x$. Soit un segment de longueur $L > \pi$ ; avec $\omega = \frac{\pi}{L} < 1$, on a $q(x) \geqslant 1 > \omega^{2}$, et la question 3 (a) montre que $y$ s'annule sur ce segment. $$\boxed{y \text{ s'annule sur tout segment de longueur strictement supérieure à } \pi}$$ Soit ensuite $a < b$ comme dans l'énoncé, et supposons $b - a < \frac{\pi}{\sqrt{3}}$, c'est-à-dire $\frac{\pi}{b - a} > \sqrt{3}$. On choisit un réel $\omega$ tel que $\sqrt{3} < \omega < \frac{\pi}{b - a}$ ; alors $q(x) \leqslant 3 < \omega^{2}$, et la question 3 (b) donne $b - a \geqslant \frac{\pi}{\omega} > b - a$, ce qui est absurde. $$\boxed{b - a \geqslant \frac{\pi}{\sqrt{3}}}$$

La figure représente, d'après des valeurs approchées obtenues numériquement, la solution telle que $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$, et ses zéros en carmin. Les écarts entre zéros consécutifs valent environ $1{,}98$ ; $2{,}90$ ; $1{,}86$ ; $2{,}20$ et $2{,}63$ : ils restent bien compris entre $\frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx 1{,}81$ et $\pi$, sans que l'on ait jamais écrit la solution.

À retenir : plus le coefficient $q$ est grand, plus les solutions de $y'' + q(x)\,y = 0$ oscillent vite ; en comparant à l'oscillateur harmonique $y'' + \omega^{2}y = 0$, dont les zéros sont espacés de $\frac{\pi}{\omega}$, on encadre l'écart entre les zéros d'équations que l'on ne sait pas résoudre. Ce théorème de comparaison est dû à Sturm, qui l'a publié en 1836 dans le premier volume du Journal de mathématiques pures et appliquées ; la fonction $\varphi$ de la question 1 est connue sous le nom d'identité de Picone.

Piège : l'hypothèse que $y_{1}$ n'est pas identiquement nulle sur $[a\,,b]$ ne peut pas être omise, puisque la fonction nulle est solution de toute équation $y'' + q_{1}(x)\,y = 0$. Pour une équation à coefficients constants, le théorème 6 montrerait qu'une solution nulle sur un segment est nulle partout, puisqu'elle y vérifie $y(x_{0}) = y'(x_{0}) = 0$ ; pour des coefficients variables, ce résultat d'unicité n'est pas encore disponible, et c'est pourquoi l'hypothèse figure dans l'énoncé.