Exercice 27

Pour une équation $y' + ay = b(x)$ à coefficient $a$ constant, les solutions de l'équation homogène sont les $\lambda\,\mathrm{e}^{-ax}$ (théorème 2), et l'on cherche une solution particulière de la forme du second membre (remarque du cours), puis l'on applique la proposition 7.

(a) La constante $-2$ est solution, d'où $y = -2 + \lambda\,\mathrm{e}^{-2x}$. La condition $y(1) = -3$ donne $\lambda\,\mathrm{e}^{-2} = -1$. $$\boxed{y(x) = -2 - \mathrm{e}^{2 - 2x}}$$ (b) Sous forme normalisée, $y' - \frac{3}{2}y = \frac{9}{2}$ ; la constante $-3$ est solution, d'où $y = -3 + \lambda\,\mathrm{e}^{3x/2}$, et $y(-1) = 1$ donne $\lambda\,\mathrm{e}^{-3/2} = 4$. $$\boxed{y(x) = -3 + 4\,\mathrm{e}^{3(x + 1)/2}}$$ (c) Comme le coefficient de $y$ n'est pas nul, un polynôme de degré $2$ convient : avec $y = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma$, on identifie $2\alpha = 1$, $2\alpha + 2\beta = -2$ et $\beta + 2\gamma = 3$. $$\boxed{y(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{9}{4} + \lambda\,\mathrm{e}^{-2x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (d) On cherche un polynôme de degré $3$ ; l'identification, en partant du terme de plus haut degré, donne successivement les coefficients $1$, $-13$, $93$ et $-326$. $$\boxed{y(x) = x^{3} - 13x^{2} + 93x - 326 + \lambda\,\mathrm{e}^{-2x/7}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (e) Ici $\mathrm{e}^{-x}$ est solution de l'équation homogène : on fait varier la constante, $y = \lambda(x)\,\mathrm{e}^{-x}$ avec $\lambda'(x) = x$. $$\boxed{y(x) = \Big(\frac{x^{2}}{2} + \lambda\Big)\mathrm{e}^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (f) On cherche $y = \alpha\cos x + \beta\sin x$ : l'identification donne $\beta - 2\alpha = 1$ et $-\alpha - 2\beta = 2$, d'où $\alpha = -\frac{4}{5}$ et $\beta = -\frac{3}{5}$. $$\boxed{y(x) = -\frac{4\cos x + 3\sin x}{5} + \lambda\,\mathrm{e}^{2x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (g) On cherche $y = Q(x)\,\mathrm{e}^{2x}$ : l'équation devient $Q' + 3Q = x^{2} - 2x + 2$, et $Q$ est de degré $2$, avec $Q = \frac{1}{27}(9x^{2} - 24x + 26)$. $$\boxed{y(x) = \frac{9x^{2} - 24x + 26}{27}\,\mathrm{e}^{2x} + \lambda\,\mathrm{e}^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (h) On écrit le second membre avec des exponentielles : $$\operatorname{sh} x - 2x\operatorname{ch} x = \Big(\frac{1}{2} - x\Big)\mathrm{e}^{x} - \Big(\frac{1}{2} + x\Big)\mathrm{e}^{-x},$$ et l'on traite les deux termes séparément (principe de superposition). Pour le premier, $y = Q\,\mathrm{e}^{x}$ donne $Q' - Q = \frac{1}{2} - x$, d'où $Q = x + \frac{1}{2}$ ; pour le second, $y = R\,\mathrm{e}^{-x}$ donne $R' - 3R = -\frac{1}{2} - x$, d'où $R = \frac{x}{3} + \frac{5}{18}$. $$\boxed{y(x) = \Big(x + \frac{1}{2}\Big)\mathrm{e}^{x} + \Big(\frac{x}{3} + \frac{5}{18}\Big)\mathrm{e}^{-x} + \lambda\,\mathrm{e}^{2x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

Piège : en (e), chercher une solution de la forme $(\alpha x + \beta)\,\mathrm{e}^{-x}$ échoue, car le terme $\beta\,\mathrm{e}^{-x}$ est absorbé par l'équation homogène : il faut monter d'un degré, ce que la variation de la constante fait automatiquement.