Exercice 26

1. On ajoute $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$, avec $a = mx$ et $b = x$ : $$\boxed{2\cos x\cos(mx) = \cos\big((m + 1)x\big) + \cos\big((m - 1)x\big)}$$ En multipliant par $\cos^{n} x$ et en intégrant sur $[0\,,\pi]$, on obtient, pour $m \geqslant 1$ : $$\boxed{2C_{n+1,m} = C_{n,m+1} + C_{n,m-1}}$$ 2. Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{P}(n)$ : « $C_{n,m} = 0$ pour tout entier $m > n$ ».

Initialisation : Pour $m \geqslant 1$, $C_{0,m} = \big[\frac{\sin(mx)}{m}\big]_{0}^{\pi} = 0$.

Hérédité : Supposons $\mathcal{P}(n)$, et soit $m > n + 1$. Alors $m \geqslant 1$, et les entiers $m + 1$ et $m - 1$ sont strictement supérieurs à $n$ : la question 1 donne $2C_{n+1,m} = 0 + 0$.

Conclusion : $\boxed{C_{n,m} = 0 \text{ pour tous entiers } m > n}$.

3. La question 1, avec $m = n + 1$, puis la question 2 donnent $2C_{n+1,n+1} = C_{n,n+2} + C_{n,n} = C_{n,n}$. La suite $(C_{n,n})$ est donc géométrique de raison $\frac{1}{2}$, et $C_{0,0} = \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x = \pi$. $$\boxed{C_{n,n} = \frac{\pi}{2^{n}}}$$ 4. La formule du binôme donne, comme au chapitre 4, $$\cos^{n} x = \frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2k - n)x} = \frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cos\big((2k - n)x\big),$$ la seconde égalité s'obtenant en prenant la partie réelle. Pour des entiers $p$ et $m$, on a $$\int_{0}^{\pi} \cos(px)\cos(mx)\,\mathrm{d} x = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \big(\cos((p + m)x) + \cos((p - m)x)\big)\,\mathrm{d} x,$$ qui vaut $0$ si $p + m \neq 0$ et $p - m \neq 0$, et $\frac{\pi}{2}$ si une seule de ces deux quantités est nulle. Si $m > n$, tous les entiers $2k - n$ sont de valeur absolue au plus $n < m$, donc toutes les intégrales sont nulles. Si $m = n \geqslant 1$, seuls les termes $k = 0$ et $k = n$ contribuent, chacun pour $\frac{\pi}{2}$, ce qui donne $$C_{n,n} = \frac{1}{2^{n}}\Big(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\pi}{2^{n}}. \quad \checkmark$$